Partindo da equação da força específica, para as seções de montante e jusante de um ressalto hidráulico em um canal retangular, mostre que, entre os números de Froude nas seções, existe a relação:
1+2 Fr1^2Fr1^4 / 3=1+2 Fr2^2Fr2^4 / 3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação de força específica para as seções antes (montante) e depois (jusante) de um ressalto hidráulico num canal retangular. O objetivo é mostrar que existe uma relação específica entre os números de Froude nessas duas seções. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de força específica e do número de Froude, além de saber como aplicá-los num ressalto hidráulico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a força específica. Em hidráulica, a força específica $ F $ para um canal retangular é dada por:
F
onde:
  • $ Q $ é a vazão,
  • $ B $ é a largura do canal,
  • $ h $ é a profundidade da água.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o número de Froude ($ \mathrm{Fr} $). Ele é definido como:
Fr
onde:
  • $ v $ é a velocidade da água,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ h $ é a profundidade da água.
O número de Froude nos ajuda a identificar regimes de fluxo: se $ \mathrm{Fr} < 1 $, o fluxo é subcrítico; se $ \mathrm{Fr} > 1 $, é supercrítico.

Passo 4

No ressalto hidráulico, a força específica é conservada entre as seções montante e jusante. Então, temos:
F1 = F2
onde $ F_1 $ é a força específica na seção montante e $ F_2 $ na seção jusante.

Passo 5

Vamos expressar $ F_1 $ e $ F_2 $ em termos do número de Froude. Para isso, precisamos relacionar a vazão $ Q $ e a velocidade $ v $ com o número de Froude.
Sabemos que $ Q = B v h $. Então, a velocidade pode ser escrita como:
F1
Substituindo na definição de $ \mathrm{Fr} $:
F2

Passo 6

Agora, vamos reescrever a força específica em termos de $ \mathrm{Fr} $. Substituindo $ Q $ da equação acima na expressão de $ F $:
Fr
Simplificando:
Q
F

Passo 7

Como $ F_1 = F_2 $, temos:
F1 = F2

Passo 8

Para simplificar, vamos dividir ambos os lados por $ h_1^{4/3} h_2^{4/3} $ e reorganizar termos para isolar as frações que envolvem $ \mathrm{Fr} $:
h1^4/3 h2^4/3

Resposta

Portanto, demonstramos que entre os números de Froude nas seções montante e jusante de um ressalto hidráulico em um canal retangular existe a relação:
1+2 Fr1^2Fr1^4 / 3=1+2 Fr2^2Fr2^4 / 3

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