Partindo da equação da força específica, para as seções de montante e jusante de um ressalto hidráulico em um canal retangular, mostre que, entre os números de Froude nas seções, existe a relação:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação de força específica para as seções antes (montante) e depois (jusante) de um ressalto hidráulico num canal retangular. O objetivo é mostrar que existe uma relação específica entre os números de Froude nessas duas seções. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de força específica e do número de Froude, além de saber como aplicá-los num ressalto hidráulico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a força específica. Em hidráulica, a força específica $ F $ para um canal retangular é dada por:
onde:
- $ Q $ é a vazão,
- $ B $ é a largura do canal,
- $ h $ é a profundidade da água.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o número de Froude ($ \mathrm{Fr} $). Ele é definido como:
onde:
- $ v $ é a velocidade da água,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a profundidade da água.
O número de Froude nos ajuda a identificar regimes de fluxo: se $ \mathrm{Fr} < 1 $, o fluxo é subcrítico; se $ \mathrm{Fr} > 1 $, é supercrítico.
Passo 4
No ressalto hidráulico, a força específica é conservada entre as seções montante e jusante. Então, temos:
onde $ F_1 $ é a força específica na seção montante e $ F_2 $ na seção jusante.
Passo 5
Vamos expressar $ F_1 $ e $ F_2 $ em termos do número de Froude. Para isso, precisamos relacionar a vazão $ Q $ e a velocidade $ v $ com o número de Froude.
Sabemos que $ Q = B v h $. Então, a velocidade pode ser escrita como:
Substituindo na definição de $ \mathrm{Fr} $:
Passo 6
Agora, vamos reescrever a força específica em termos de $ \mathrm{Fr} $. Substituindo $ Q $ da equação acima na expressão de $ F $:
Simplificando:
Passo 7
Como $ F_1 = F_2 $, temos:
Passo 8
Para simplificar, vamos dividir ambos os lados por $ h_1^{4/3} h_2^{4/3} $ e reorganizar termos para isolar as frações que envolvem $ \mathrm{Fr} $:
Resposta
Portanto, demonstramos que entre os números de Froude nas seções montante e jusante de um ressalto hidráulico em um canal retangular existe a relação: