Trace as projeçòes da curva sobre os três planos coordenados. Use essas projeções para auxiliá-lo a esboçar a curva.
19. r(t)=lang<= t, sen t, 2 cos trang<=

Passo 1

Vamos entender o enunciado primeiro. Aqui temos um exercício de geometria analítica, mais especificamente sobre curvas espaciais e suas projeções nos planos coordenados. A curva é dada pela função vetorial r(t)=lang<= t, sen t, 2 cos trang<=. Para resolver, vamos precisar saber como projetar essa curva nos planos XY, XZ, e YZ.

Passo 2

Primeiro, vamos projetar a curva no plano XY. Para isso, devemos ignorar a terceira coordenada, que é a componente z. Assim, a projeção da curva no plano XY será dada por lang<= t, sen trang<=. Essa nova função não usa a coordenada z. Basicamente, isso significa que estamos pegando apenas a “sombra” da curva no plano XY.

Passo 3

Agora, vamos projetar a curva no plano XZ. Dessa vez, ignoramos a componente y. Assim, nossa projeção no plano XZ será lang<= t, 2 cos trang<=. Aqui estamos pegando a “sombra” da curva, mas agora no plano que vai do eixo x para o eixo z.

Passo 4

Por fim, vamos projetar a curva no plano YZ. Para isso, ignoramos a componente x. Assim, a projeção no plano YZ será lang<= sen t, 2 cos trang<=. Essa sombra mostra como a curva se comporta apenas em relação aos eixos y e z.

Passo 5

Agora que temos as projeções, podemos esboçar a curva. No plano XY, a curva oscilará entre 1 e -1 ao longo do eixo y, enquanto t pode variar sem restrições. No plano XZ, a oscilação em z vai de -2 a 2, porque estamos multiplicando o cos t por 2. Já no plano YZ, a projeção também oscila entre 1 e -2, dada pela função 2 cos t.

Resposta

As projeções da curva r(t)=lang<= t, sen t, 2 cos trang<= nos planos coordenados são:
  • No plano XY: lang<= t, sen trang<=
  • No plano XZ: lang<= t, 2 cos trang<=
  • No plano YZ: lang<= sen t, 2 cos trang<=
Essas projeções ajudam a esboçar a curva em relação aos diferentes planos.

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