Trace as projeçòes da curva sobre os três planos coordenados. Use essas projeções para auxiliá-lo a esboçar a curva.
19.
19.
Passo 1
Vamos entender o enunciado primeiro. Aqui temos um exercício de geometria analítica, mais especificamente sobre curvas espaciais e suas projeções nos planos coordenados. A curva é dada pela função vetorial
. Para resolver, vamos precisar saber como projetar essa curva nos planos
,
, e
.
Passo 2
Primeiro, vamos projetar a curva no plano
. Para isso, devemos ignorar a terceira coordenada, que é a componente z. Assim, a projeção da curva no plano
será dada por
. Essa nova função não usa a coordenada z. Basicamente, isso significa que estamos pegando apenas a “sombra” da curva no plano
.
Passo 3
Agora, vamos projetar a curva no plano
. Dessa vez, ignoramos a componente y. Assim, nossa projeção no plano
será
. Aqui estamos pegando a “sombra” da curva, mas agora no plano que vai do eixo x para o eixo z.
Passo 4
Por fim, vamos projetar a curva no plano
. Para isso, ignoramos a componente x. Assim, a projeção no plano
será
. Essa sombra mostra como a curva se comporta apenas em relação aos eixos y e z.
Passo 5
Agora que temos as projeções, podemos esboçar a curva. No plano
, a curva oscilará entre 1 e -1 ao longo do eixo y, enquanto
pode variar sem restrições. No plano
, a oscilação em z vai de -2 a 2, porque estamos multiplicando o
por 2. Já no plano
, a projeção também oscila entre 1 e -2, dada pela função
.
Resposta
As projeções da curva
nos planos coordenados são:
- No plano
: - No plano
: - No plano
:
Essas projeções ajudam a esboçar a curva em relação aos diferentes planos.