Trace as projeçòes da curva sobre os três planos coordenados. Use essas projeções para auxiliá-lo a esboçar a curva.
19.

Passo 1

Vamos entender o enunciado primeiro. Aqui temos um exercício de geometria analítica, mais especificamente sobre curvas espaciais e suas projeções nos planos coordenados. A curva é dada pela função vetorial . Para resolver, vamos precisar saber como projetar essa curva nos planos , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos projetar a curva no plano . Para isso, devemos ignorar a terceira coordenada, que é a componente z. Assim, a projeção da curva no plano será dada por . Essa nova função não usa a coordenada z. Basicamente, isso significa que estamos pegando apenas a “sombra” da curva no plano .

Passo 3

Agora, vamos projetar a curva no plano . Dessa vez, ignoramos a componente y. Assim, nossa projeção no plano será . Aqui estamos pegando a “sombra” da curva, mas agora no plano que vai do eixo x para o eixo z.

Passo 4

Por fim, vamos projetar a curva no plano . Para isso, ignoramos a componente x. Assim, a projeção no plano será . Essa sombra mostra como a curva se comporta apenas em relação aos eixos y e z.

Passo 5

Agora que temos as projeções, podemos esboçar a curva. No plano , a curva oscilará entre 1 e -1 ao longo do eixo y, enquanto pode variar sem restrições. No plano , a oscilação em z vai de -2 a 2, porque estamos multiplicando o por 2. Já no plano , a projeção também oscila entre 1 e -2, dada pela função .

Resposta

As projeções da curva nos planos coordenados são:
  • No plano :
  • No plano :
  • No plano :
Essas projeções ajudam a esboçar a curva em relação aos diferentes planos.

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