A trajetória de uma pedra lançada ao ar é dada por y=-5x² + 20x, em metros. Determine as raízes dessa função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função que descreve a trajetória de uma pedra lançada ao ar: $ y = -5x^2 + 20x $. Nosso objetivo aqui é encontrar as raízes dessa função, ou seja, os valores de $ x $ que fazem o valor de $ y $ igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e como encontrar suas raízes, que é o que você precisa agora.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as raízes de uma função. As raízes são os pontos onde a função cruza o eixo $ x $, ou seja, onde $ y = 0 $. Então, precisamos resolver a equação:
x

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos fatorar. Fatorar significa reescrever a expressão como um produto de fatores menores. Olhando para a equação, percebemos que podemos tirar um fator comum.
Vamos fatorar $ -5x $ da equação:
-5x
Então, a equação fatorada fica:
-5x^2 + 20x = -5x(x) + (-5x)(-4) = -5x(x - 4)

Passo 4

Agora, temos um produto igual a zero. De acordo com a propriedade do produto nulo, se o produto de dois ou mais fatores é zero, pelo menos um desses fatores deve ser zero. Assim, podemos igualar cada fator a zero e resolver para $ x $:
  1. $ -5x = 0 $
  2. $ x - 4 = 0 $

Passo 5

Resolvendo a primeira equação:
-5x = 0
x = 0
Resolvendo a segunda equação:
x - 4 = 0
x = 4

Resposta

As raízes da função $ y = -5x^2 + 20x $ são $ x = 0 $ e $ x = 4 $.

Exercícios relacionados