A trajetória de voo do helicóptero enquanto decola de
é definida pelas equações paramétricas
e
, em que
é o tempo em segundos. Determine a distância que o helicóptero está do ponto
e as intensidades de sua velocidade e aceleração quando
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um helicóptero decolando do ponto
com as equações paramétricas da sua trajetória:
Aqui,
é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir duas coisas quando
segundos:
- A distância que o helicóptero está do ponto
. - As intensidades da velocidade e da aceleração.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para achar velocidade e aceleração, e a fórmula da distância no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a distância que o helicóptero está do ponto
no instante
segundos.
A distância
no plano cartesiano pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
Então, substituindo
na equação de
e
:
Agora, calculamos a distância:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade do helicóptero no instante
segundos.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, precisamos derivar
e
em relação a
para encontrar as componentes da velocidade:
Derivando
:
Derivando
:
Substituindo
:
Agora, a intensidade da velocidade
é dada por:
Passo 4
Por último, vamos calcular a aceleração do helicóptero no instante
segundos.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar novamente
e
:
Derivando
:
Derivando
:
Substituindo
:
A intensidade da aceleração
é: