A trajetória de voo do helicóptero enquanto decola de A é definida pelas equações paramétricas x =(2 t^2) m e y=(0,04 t^3) m, em que t é o tempo em segundos. Determine a distância que o helicóptero está do ponto A e as intensidades de sua velocidade e aceleração quando t=10 s.
Resposta: d=204 m ; v=41,8 m / s ; a=4,66 m / s^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um helicóptero decolando do ponto x = 2 t^2 , m e y = 0,04 t^3 , m com as equações paramétricas da sua trajetória:
Aqui, é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir duas coisas quando segundos:
  1. A distância que o helicóptero está do ponto .
  2. As intensidades da velocidade e da aceleração.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para achar velocidade e aceleração, e a fórmula da distância no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a distância que o helicóptero está do ponto d = raizx^2 + y^2 no instante x = 2 (10)^2 = 2 times 100 = 200 , m segundos.
A distância y = 0,04 (10)^3 = 0,04 times 1000 = 40 , m no plano cartesiano pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
d = raiz200^2 + 40^2 = raiz40000 + 1600 = raiz41600 approx 204 , m
Então, substituindo na equação de e :
Agora, calculamos a distância:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade do helicóptero no instante vx = dxdt e vy = dydt segundos.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, precisamos derivar vx = ddt(2 t^2) = 4 t e vy = ddt(0,04 t^3) = 0,12 t^2 em relação a vx = 4 times 10 = 40 , m/s para encontrar as componentes da velocidade:
vy = 0,12 times 100 = 12 , m/s
Derivando v = raizvx^2 + vy^2 = raiz40^2 + 12^2 = raiz1600 + 144 = raiz1744 approx 41,8 , m/s :
Derivando :
Substituindo :
Agora, a intensidade da velocidade é dada por:

Passo 4

Por último, vamos calcular a aceleração do helicóptero no instante ax = dvxdt e ay = dvydt segundos.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar novamente ax = 4 , m/s^2 e ay = 0,24 t :
ax = 4 , m/s^2
Derivando ay = 0,24 times 10 = 2,4 , m/s^2 :
a = raizax^2 + ay^2 = raiz4^2 + 2,4^2 = raiz16 + 5,76 = raiz21,76 approx 4,66 , m/s^2
Derivando :
Substituindo :
A intensidade da aceleração é:

Resposta

d = 204 , m; v = 41,8 , m/s; a = 4,66 , m/s^2

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