A trajetória de voo do helicóptero enquanto decola de é definida pelas equações paramétricas e , em que é o tempo em segundos. Determine a distância que o helicóptero está do ponto e as intensidades de sua velocidade e aceleração quando .
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um helicóptero decolando do ponto com as equações paramétricas da sua trajetória:
Aqui, é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir duas coisas quando segundos:
  1. A distância que o helicóptero está do ponto .
  2. As intensidades da velocidade e da aceleração.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para achar velocidade e aceleração, e a fórmula da distância no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a distância que o helicóptero está do ponto no instante segundos.
A distância no plano cartesiano pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
Então, substituindo na equação de e :
Agora, calculamos a distância:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade do helicóptero no instante segundos.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, precisamos derivar e em relação a para encontrar as componentes da velocidade:
Derivando :
Derivando :
Substituindo :
Agora, a intensidade da velocidade é dada por:

Passo 4

Por último, vamos calcular a aceleração do helicóptero no instante segundos.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar novamente e :
Derivando :
Derivando :
Substituindo :
A intensidade da aceleração é:

Resposta

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Resposta: ; altitude
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Resposta:
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Resposta:
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Resposta: