A trajetória de voo do helicóptero enquanto decola de
é definida pelas equações paramétricas
e
, em que
é o tempo em segundos. Determine a distância que o helicóptero está do ponto
e as intensidades de sua velocidade e aceleração quando
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um helicóptero decolando do ponto
com as equações paramétricas da sua trajetória:
Aqui,
é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir duas coisas quando
segundos:
- A distância que o helicóptero está do ponto
. - As intensidades da velocidade e da aceleração.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para achar velocidade e aceleração, e a fórmula da distância no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a distância que o helicóptero está do ponto
no instante
segundos.
A distância
no plano cartesiano pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras:
Então, substituindo
na equação de
e
:
Agora, calculamos a distância:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade do helicóptero no instante
segundos.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, precisamos derivar
e
em relação a
para encontrar as componentes da velocidade:
Derivando
:
Derivando
:
Substituindo
:
Agora, a intensidade da velocidade
é dada por:
Passo 4
Por último, vamos calcular a aceleração do helicóptero no instante
segundos.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar novamente
e
:
Derivando
:
Derivando
:
Substituindo
:
A intensidade da aceleração
é:
Resposta
Exercícios relacionados
Um saco de areia é lançado de um balão que está subindo verticalmente a uma velocidade constante de
. Se o saco é lançado com a mesma velocidade de
para cima quando
e atinge
solo quando
, determine a velocidade do saco quando ele atinge o solo e a altitude do balão nesse momento.
Resposta: ; altitude
Resposta:
Partindo do repouso, um ciclista percorre uma trajetória circular horizontal,
, a uma velocidade de
, em que
é dado em segundos. Determine as intensidades de sua velocidade e aceleração quando ele tiver percorrido
.
Resposta:
Resposta:
No instante mostrado, o homem está girando uma mangueira sobre sua cabeça com velocidade angular
e aceleração angular
. Se a mangueira fica em um plano horizontal e a água flui por ela a uma velocidade constante de
, determine as intensidades de velocidade e aceleração de uma partícula de água ao sair pela abertura,
.
Resposta:
Resposta:
Uma bola é lançada horizontalmente do tubo com velocidade escalar de
. Encontre a equação da trajetória,
, e, em seguida, determine a velocidade da bola e as componentes normal e tangencial de sua aceleração quando
.
Resposta:
Resposta: