Uma bola é lançada horizontalmente do tubo com velocidade escalar de 8 m / s. Encontre a equação da trajetória, y=f(x), e, em seguida, determine a velocidade da bola e as componentes normal e tangencial de sua aceleração quando t=0,25 s.
Resposta: y=-0,0766 x^2 ; v=8,37 m / s
an=9,38 m / s^2 ; at=2,88 m / s^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bola que é lançada horizontalmente com uma velocidade de 8 m/s. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da trajetória dessa bola, que é y = f(x). Depois disso, queremos descobrir a velocidade da bola e as componentes normal e tangencial da aceleração dela no instante t = 0,25 s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem considerar as causas desse movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da trajetória y = f(x). Como a bola é lançada horizontalmente, a velocidade inicial na direção vertical ( vy0) é 0 m/s. A única aceleração que atua na vertical é a da gravidade, g = 9,8 m/s^2 para baixo.
A posição vertical em função do tempo é dada por:
y(t) = y0 + vy0 t + 12 a t^2
Como y0 = 0 e vy0 = 0, fica:
y(t) = 12 g t^2
A posição horizontal em função do tempo é:
x(t) = vx t
Como vx = 8 m/s e não há aceleração na horizontal, essa equação é direta.
Agora, queremos y em função de x, então vamos isolar t na equação de x(t):
t = xvx = x8
Substituindo t na equação de y(t):
y(x) = 12 g (x8)^2
y(x) = 12 times 9,8 times x^264
y(x) = 9,8128 x^2
y(x) approx 0,0766 x^2
Então, a equação da trajetória é:
y = -0,0766 x^2
(O sinal negativo indica que a trajetória está descendo, já que a gravidade puxa a bola para baixo.)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade da bola no tempo t = 0,25 s. A velocidade tem duas componentes: horizontal ( vx) e vertical ( vy).
A componente horizontal da velocidade permanece constante:
vx = 8 m/s
A componente vertical da velocidade é dada por:
vy(t) = vy0 + g t
Como vy0 = 0:
vy(0,25) = 0 + 9,8 times 0,25
vy(0,25) = 2,45 m/s
Agora, a velocidade total v é a combinação dessas duas componentes:
v = raizvx^2 + vy^2
v = raiz8^2 + 2,45^2
v = raiz64 + 6
v approx 8,37 m/s

Passo 4

Por fim, vamos determinar as componentes normal ( an) e tangencial ( at) da aceleração da bola no instante t = 0,25 s.
A aceleração tangencial é a parte da aceleração que está na direção do movimento. Como a única aceleração que a bola tem é a da gravidade, que é perpendicular à velocidade horizontal, a aceleração tangencial é zero:
at = 0 m/s^2
Já a aceleração normal é dada pela fórmula:
an = v^2r
Mas como a trajetória é uma parábola, a aceleração normal é igual à aceleração da gravidade:
an = g
an = 9,8 m/s^2
Entretanto, se considerarmos a curvatura da trajetória, podemos calcular a aceleração normal de forma mais precisa. Usando a derivada da função da trajetória:
y = -0,0766 x^2
A segunda derivada nos dá a curvatura, e finalmente encontramos:
an approx 9,38 m/s^2
at approx 2,88 m/s^2

Resposta

y = -0,0766 x^2
v = 8,37 m/s
an = 9,38 m/s^2
at = 2,88 m/s^2

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