Uma bola é lançada horizontalmente do tubo com velocidade escalar de . Encontre a equação da trajetória, , e, em seguida, determine a velocidade da bola e as componentes normal e tangencial de sua aceleração quando .
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bola que é lançada horizontalmente com uma velocidade de . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da trajetória dessa bola, que é . Depois disso, queremos descobrir a velocidade da bola e as componentes normal e tangencial da aceleração dela no instante . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem considerar as causas desse movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da trajetória . Como a bola é lançada horizontalmente, a velocidade inicial na direção vertical ( ) é . A única aceleração que atua na vertical é a da gravidade, para baixo.
A posição vertical em função do tempo é dada por:

Como e , fica:
A posição horizontal em função do tempo é:

Como e não há aceleração na horizontal, essa equação é direta.
Agora, queremos em função de , então vamos isolar na equação de :
Substituindo na equação de :
Então, a equação da trajetória é:
(O sinal negativo indica que a trajetória está descendo, já que a gravidade puxa a bola para baixo.)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade da bola no tempo . A velocidade tem duas componentes: horizontal ( ) e vertical ( ).
A componente horizontal da velocidade permanece constante:
A componente vertical da velocidade é dada por:

Como :
Agora, a velocidade total é a combinação dessas duas componentes:

Passo 4

Por fim, vamos determinar as componentes normal ( ) e tangencial ( ) da aceleração da bola no instante .
A aceleração tangencial é a parte da aceleração que está na direção do movimento. Como a única aceleração que a bola tem é a da gravidade, que é perpendicular à velocidade horizontal, a aceleração tangencial é zero:
Já a aceleração normal é dada pela fórmula:
Mas como a trajetória é uma parábola, a aceleração normal é igual à aceleração da gravidade:
Entretanto, se considerarmos a curvatura da trajetória, podemos calcular a aceleração normal de forma mais precisa. Usando a derivada da função da trajetória:

A segunda derivada nos dá a curvatura, e finalmente encontramos:

Resposta

Exercícios relacionados

No instante mostrado, o homem está girando uma mangueira sobre sua cabeça com velocidade angular e aceleração angular . Se a mangueira fica em um plano horizontal e a água flui por ela a uma velocidade constante de , determine as intensidades de velocidade e aceleração de uma partícula de água ao sair pela abertura, .
Resposta:
A trajetória de voo do helicóptero enquanto decola de é definida pelas equações paramétricas e , em que é o tempo em segundos. Determine a distância que o helicóptero está do ponto e as intensidades de sua velocidade e aceleração quando .
Resposta:
É dada uma tacada em uma bola de golfe na beirada de um barranco. Suas coordenadas e como funções do tempo são dadas pelas seguintes expressões:
(a) Obtenha uma expressão vetorial para a posição da bola como função do tempo, usando os vetores unitários î e j. Fazendo as derivadas, obtenha espressões para (b) o vetor velocidade v como função do tempo e © o vetor aceleração como função do tempo. Utilize em seguida a notação de vetor unitário para obter expressõos para (d) a posição, (e) a velocidade, e (f) a aceleração da bola de golfe, todos em .
Um rastreador de radar em gira com velocidade angular de e aceleração angular de , no instante , enquanto acompanha o movimento do carro que trafega ao longo da pista circular com raio . Determine as intensidades de velocidade e aceleração do carro nesse instante.
Resposta: