A transformada de Laplace inversa de
s+2(s+2)^2+1
é
(a) e^-t cos 2 t
(b) e^-t sen 2 t
© e^-2 t cos t
(d) e^-2 t sen 2 t
(e) nenhuma das alternativas anteriores

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com Transformadas de Laplace, especificamente com a transformada inversa. O que precisamos fazer aqui é encontrar a função no tempo cuja transformada de Laplace é a expressão que foi dada. Vamos usar algumas fórmulas básicas de transformadas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que a gente recebeu:
s+2(s+2)^2+1
Essa é a expressão da transformada de Laplace que queremos inverter, ou seja, encontrar a função original no tempo $ t $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma fórmula padrão da transformada inversa de Laplace:
L^-1 s+a(s+a)^2 + b^2 = e^-a t cos(bt)
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes que vamos identificar comparando com a nossa expressão.

Passo 4

Comparando a nossa expressão com a fórmula padrão:
  • Na nossa expressão, $ a = 2 $
  • E $ b^2 = 1 $ então $ b = 1 $
Substituindo esses valores na fórmula padrão, temos:
a = 2

Resposta

A transformada de Laplace inversa é:
© $ e^{-2 t} \cos t $

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