Encontre a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=20s^3-2 s^2+5 s+e^-2 ss^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace inversa. A questão pede para encontrar a inversa da função:
F(s)=20s^3-2 s^2+5 s+e^-2 ss^3
Vamos precisar usar conceitos de transformadas de Laplace, como decomposição de frações parciais e propriedades de deslocamento no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a primeira fração da expressão:
20s^3-2 s^2+5 s
Para isso, vamos fatorar o denominador. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador s^3-2 s^2+5 s = s(s^2 - 2s + 5) . Primeiro, colocamos em evidência:
Agora, temos multiplicado por um polinômio quadrático.

Passo 4

Vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos expressar:
20s(s^2 - 2s + 5) = As + Bs + Cs^2 - 2s + 5
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 20 = A(s^2 - 2s + 5) + (Bs + C)s para eliminar os denominadores:
20 = A s^2 - 2A s + 5A + Bs^2 + Cs
Expandindo:
20 = (A + B)s^2 + (-2A + C)s + 5A
Organizando termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para o termo constante:
Resolvendo:
  • De temos
  • De , com , temos
  • De , com , temos

Passo 7

Substituindo os valores encontrados na decomposição:
20s(s^2 - 2s + 5) = 4s + -4s + 8s^2 - 2s + 5

Passo 8

Agora, vamos simplificar a segunda fração:
-4s + 8s^2 - 2s + 5
Podemos reescrever o denominador completando o quadrado:
s^2 - 2s + 5 = (s - 1)^2 + 4

Passo 9

Expressamos a fração de forma que fique mais fácil identificar transformadas conhecidas:
-4s + 8(s - 1)^2 + 4 = -4(s - 1) - 4(-1) + 8(s - 1)^2 + 4 = -4(s - 1) + 4(s - 1)^2 + 4

Passo 10

Agora, temos:
-4(s - 1)(s - 1)^2 + 4 + 4(s - 1)^2 + 4
Conhecemos as transformadas inversas:

Passo 11

Aplicando as fórmulas:
  • Para -4 e^tcos(2t) , temos 2 e^tsin(2t) e :
  • Para , temos:

Passo 12

Juntando tudo para a primeira fração:
L^-120s^3-2 s^2+5 s = 4 - 4 e^tcos(2t) + 2 e^tsin(2t)

Passo 13

Agora, vamos para a segunda fração da função original:
e^-2 ss^3
Sabemos que e que o termo implica um deslocamento no tempo.

Passo 14

Usando a propriedade de deslocamento, temos:
L^-1e^-2 ss^3 = (t - 2)^22u(t - 2)
Onde é a função degrau unitário deslocada.

Resposta

A transformada de Laplace inversa de f(t) = 4 - 4 e^tcos(2t) + 2 e^tsin(2t) + (t - 2)^22u(t - 2) é:

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