Encontre a transformada de Laplace inversa da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace inversa. A questão pede para encontrar a inversa da função:
Vamos precisar usar conceitos de transformadas de Laplace, como decomposição de frações parciais e propriedades de deslocamento no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a primeira fração da expressão:
Para isso, vamos fatorar o denominador. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador
. Primeiro, colocamos
em evidência:
Agora, temos
multiplicado por um polinômio quadrático.
Passo 4
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos expressar:
Onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Organizando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Resolvendo:
- De
temos - De
, com , temos - De
, com , temos
Passo 7
Substituindo os valores encontrados na decomposição:
Passo 8
Agora, vamos simplificar a segunda fração:
Podemos reescrever o denominador completando o quadrado:
Passo 9
Expressamos a fração de forma que fique mais fácil identificar transformadas conhecidas:
Passo 10
Agora, temos:
Conhecemos as transformadas inversas:
Passo 11
Aplicando as fórmulas:
- Para
, temos e :
- Para
, temos:
Passo 12
Juntando tudo para a primeira fração:
Passo 13
Agora, vamos para a segunda fração da função original:
Sabemos que
e que o termo
implica um deslocamento no tempo.
Passo 14
Usando a propriedade de deslocamento, temos:
Onde
é a função degrau unitário deslocada.
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é: