Given the following functions F(s), find f(t).
(b) F(s)=(s+4)(s+8)s(s^2+8 s+32)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função no domínio de $ s $, que é a transformada de Laplace de alguma função no tempo $ t $. O que a gente precisa fazer é encontrar $ f(t) $, ou seja, fazer a transformada inversa de Laplace dessa função $ \mathbf{F}(s) = \frac{(s+4)(s+8)}{s(s^{2}+8s+32)} $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função $ \mathbf{F}(s) $. Vamos expandir o numerador:
F(s)
Então, nossa função fica:
(s + 4)(s + 8) = s^2 + 12s + 32

Passo 3

Agora, a gente vai fazer uma fração parcial para simplificar a expressão. Queremos escrever $ \mathbf{F}(s) $ como soma de frações mais simples. Vamos supor que:
F(s)

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por $ s(s^{2}+8s+32) $ para eliminar os denominadores, temos:
s(s^2+8s+32)
Expandindo o lado direito:
s^2 + 12s + 32 = A(s^2 + 8s + 32) + (Bs + C)s
Agrupando termos semelhantes:
s^2 + 12s + 32 = A s^2 + 8A s + 32A + Bs^2 + Cs

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
  1. Para $ s^{2} $: s^2
  2. Para $ s $: 1 = A + B
  3. Para o termo constante: s

Passo 6

Vamos resolver as equações:
Da terceira equação:
32 = 32A Rightarrow A = 1
Substituindo $ A = 1 $ na primeira equação:
A = 1
Agora, substituindo $ A = 1 $ na segunda equação:
1 = 1 + B Rightarrow B = 0

Passo 7

Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, podemos reescrever a fração parcial:
A

Passo 8

Vamos simplificar a segunda fração. Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
s^2 + 8s + 32 = (s^2 + 8s + 16) + 16 = (s + 4)^2 + 16
Então, nossa função fica:
F(s) = 1s + 4(s + 4)^2 + 16

Passo 9

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
  1. Para $ \frac{1}{s} $:
    1s
  2. Para $ \frac{4}{(s + 4)^2 + 16} $:
    Sabemos que:
    L^-11s = 1
    Comparando, temos $ a = 4 $ e $ \omega^2 = 16 \Rightarrow \omega = 4 $. Então:
    4(s + 4)^2 + 16

Resposta

Portanto, a função $ f(t) $ é:
f(t)

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