Given the following functions
, find
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função no domínio de $ s $, que é a transformada de Laplace de alguma função no tempo $ t $. O que a gente precisa fazer é encontrar $ f(t) $, ou seja, fazer a transformada inversa de Laplace dessa função $ \mathbf{F}(s) = \frac{(s+4)(s+8)}{s(s^{2}+8s+32)} $.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função $ \mathbf{F}(s) $. Vamos expandir o numerador:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, a gente vai fazer uma fração parcial para simplificar a expressão. Queremos escrever $ \mathbf{F}(s) $ como soma de frações mais simples. Vamos supor que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por $ s(s^{2}+8s+32) $ para eliminar os denominadores, temos:
Expandindo o lado direito:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
- Para $ s^{2} $:
- Para $ s $:
- Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver as equações:
Da terceira equação:
Substituindo $ A = 1 $ na primeira equação:
Agora, substituindo $ A = 1 $ na segunda equação:
Passo 7
Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, podemos reescrever a fração parcial:
Passo 8
Vamos simplificar a segunda fração. Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, nossa função fica:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
-
Para $ \frac{1}{s} $:
-
Para $ \frac{4}{(s + 4)^2 + 16} $:Sabemos que:Comparando, temos $ a = 4 $ e $ \omega^2 = 16 \Rightarrow \omega = 4 $. Então:
Resposta
Portanto, a função $ f(t) $ é: