Trate dos seguintes limites:

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar conceitos de limite e propriedades do valor absoluto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor absoluto. O representa a distância de até zero na reta numérica, sempre sendo positivo ou zero. Então, dependendo se é positivo ou negativo, pode simplificar a expressão de maneiras diferentes.

Passo 3

Vamos considerar dois casos: quando se aproxima de 0 pela direita ( ) e quando se aproxima pela esquerda ( ). Isso porque o comportamento da função pode ser diferente nos dois lados de 0.

Passo 4

Caso 1: (y positivo)
Quando é positivo, . Substituindo na expressão:
Agora, calculamos o limite:

Passo 5

Caso 2: (y negativo)
Quando é negativo, . Substituindo na expressão:
Agora, calculamos o limite:

Passo 6

Como os limites laterais não são iguais ( pela direita e 0 pela esquerda), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.

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