Trate dos seguintes limites: lim y 0 |y|+yy|y|

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar conceitos de limite e propriedades do valor absoluto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor absoluto. O representa a distância de até zero na reta numérica, sempre sendo positivo ou zero. Então, dependendo se é positivo ou negativo, pode simplificar a expressão de maneiras diferentes.

Passo 3

Vamos considerar dois casos: quando se aproxima de 0 pela direita ( ) e quando se aproxima pela esquerda ( ). Isso porque o comportamento da função pode ser diferente nos dois lados de 0.

Passo 4

Caso 1: |y| + yy|y| = y + yy cdot y = 2yy^2 = 2y (y positivo)
Quando limy to 0^+ 2y = +infty é positivo, . Substituindo na expressão:
Agora, calculamos o limite:

Passo 5

Caso 2: |y| + yy|y| = -y + yy cdot (-y) = 0-y^2 = 0 (y negativo)
Quando limy to 0^- 0 = 0 é negativo, . Substituindo na expressão:
Agora, calculamos o limite:

Passo 6

Como os limites laterais não são iguais ( pela direita e 0 pela esquerda), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.

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