Trate dos seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão
. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo raízes quadradas, e vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar essa expressão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos observar que dentro de cada raiz quadrada, o termo de maior grau é
. Quando
vai para o infinito, os termos com
de menor grau se tornam menos significativos. Então, uma estratégia é fatorar
de dentro das raízes para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos fatorar
de dentro de cada raiz:
Como
tende ao infinito positivo,
. Então, podemos escrever:
Fazemos o mesmo para a segunda raiz:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a expressão original usando essas novas formas:
Passo 5
Para simplificar a diferença das raízes, podemos usar a técnica de multiplicar e dividir pela conjugada. Assim, multiplicamos e dividimos a expressão dentro do parênteses pela soma das raízes:
Onde
e
.
Passo 6
Calculando
:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão:
E a raiz no denominador, quando
tende ao infinito, aproxima-se de
. Então:
Passo 8
Agora, substituindo tudo de volta na expressão:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero. Então, a expressão se aproxima de:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Trate dos seguintes limites:
quar
sécu
os at
sécu
os at
Trate dos seguintes limites:
Considere função racional
Determine os números reais nos quais
não está definida.