Trate dos seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo raízes quadradas, e vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar essa expressão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos observar que dentro de cada raiz quadrada, o termo de maior grau é . Quando vai para o infinito, os termos com de menor grau se tornam menos significativos. Então, uma estratégia é fatorar de dentro das raízes para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar de dentro de cada raiz:
Como tende ao infinito positivo, . Então, podemos escrever:
Fazemos o mesmo para a segunda raiz:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a expressão original usando essas novas formas:

Passo 5

Para simplificar a diferença das raízes, podemos usar a técnica de multiplicar e dividir pela conjugada. Assim, multiplicamos e dividimos a expressão dentro do parênteses pela soma das raízes:
Onde e .

Passo 6

Calculando :
Então, a expressão fica:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
E a raiz no denominador, quando tende ao infinito, aproxima-se de . Então:

Passo 8

Agora, substituindo tudo de volta na expressão:
Quando tende ao infinito, tende a zero. Então, a expressão se aproxima de:

Resposta

O limite é .

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Determine os números reais nos quais não está definida.