Trate dos seguintes limites: lim x +infty(raiz4 x^2+8 x+6-raiz4 x^2+7 x-5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo raízes quadradas, e vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar essa expressão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos observar que dentro de cada raiz quadrada, o termo de maior grau é . Quando vai para o infinito, os termos com de menor grau se tornam menos significativos. Então, uma estratégia é fatorar de dentro das raízes para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar raiz4x^2 + 8x + 6 = raizx^2(4 + 8x + 6x^2) = |x| raiz4 + 8x + 6x^2 de dentro de cada raiz:
raiz4x^2 + 8x + 6 = x raiz4 + 8x + 6x^2
Como raiz4x^2 + 7x - 5 = x raiz4 + 7x - 5x^2 tende ao infinito positivo, . Então, podemos escrever:
Fazemos o mesmo para a segunda raiz:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a expressão original usando essas novas formas:
raiz4x^2 + 8x + 6 - raiz4x^2 + 7x - 5 = x ( raiz4 + 8x + 6x^2 - raiz4 + 7x - 5x^2 )

Passo 5

Para simplificar a diferença das raízes, podemos usar a técnica de multiplicar e dividir pela conjugada. Assim, multiplicamos e dividimos a expressão dentro do parênteses pela soma das raízes:
raizA - raizB = (raizA - raizB)(raizA + raizB)raizA + raizB = A - BraizA + raizB
Onde e .

Passo 6

Calculando A - B = (4 + 8x + 6x^2) - (4 + 7x - 5x^2) = 1x + 11x^2 :
x cdot 1x + 11x^2raiz4 + 8x + 6x^2 + raiz4 + 7x - 5x^2
Então, a expressão fica:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
x cdot ( 1x + 11x^2 ) = 1 + 11x
E a raiz no denominador, quando raiz4 + 8x + 6x^2 + raiz4 + 7x - 5x^2 approx 2 + 2 = 4 tende ao infinito, aproxima-se de . Então:

Passo 8

Agora, substituindo tudo de volta na expressão:
1 + 11x4
Quando 14 tende ao infinito, tende a zero. Então, a expressão se aproxima de:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados