Trate dos seguintes limites:
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: precisamos calcular o limite quando
tende a menos infinito da expressão
. Vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções radicais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
. Quando
tende a menos infinito, os termos de maior grau (nesse caso,
) dominam o comportamento da função. Portanto, podemos simplificar a raiz para entender como ela se comporta.
Passo 3
A raiz quadrada de
é
. Como
está tendendo a menos infinito (ou seja,
é negativo),
. Assim,
.
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
Então, a expressão toda fica:
Passo 5
Simplificando a soma:
Mas precisamos considerar os termos que foram negligenciados na aproximação inicial para termos mais precisão.
Passo 6
Vamos refinar a aproximação. Expresse a raiz quadrada da seguinte forma:
Usamos a expansão para
quando
é pequeno.
Passo 7
Aplicando a expansão:
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, somamos com
:
Quando
tende a menos infinito, o termo
tende a zero.
Passo 9
Portanto, o limite é:
Resposta
O limite é
.
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não está definida.
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