Um fluido incompressível escoa em regime permanente na região de entrada de um duto bidimensional de altura 2 h . A velocidade uniforme na entrada do duto é U=20 ft / s. A distribuição de velocidade é parabólica. Avalie a velocidade máxima na seção 2. Calcule a queda de pressão que existiria no duto se o atrito viscoso nas paredes pudesse ser desprezado. Resp. vmax=60 ft/s e P1-P2 = 0,6987 lbf/ft²

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um fluido incompressível (tipo água ou óleo, que não muda de volume) escoando de forma constante numa região de entrada de um duto bidimensional com altura 2h. A velocidade na entrada é uniforme, de 20 ft/s, e a distribuição de velocidade é parabólica, o que significa que a velocidade varia ao longo da altura do duto, sendo maior no meio e menor nas paredes. Precisamos descobrir qual é a velocidade máxima nessa seção do duto e quanto de pressão cai no duto, assumindo que o atrito nas paredes não interfere. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de fluxo incompressível, distribuição de velocidades parabolica e a equação de Bernoulli para relacionar velocidade e pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a distribuição parabólica da velocidade. Em um fluxo bidimensional incompressível com esse tipo de distribuição, a velocidade é máxima no centro do duto e vai diminuindo até chegar a zero nas paredes. Sabemos que a velocidade média (U) na entrada é de 20 ft/s. Para uma distribuição parabólica, a relação entre a velocidade média e a velocidade máxima (V_max) é dada por uma constante.

Passo 3

A relação entre a velocidade média e a velocidade máxima para uma distribuição parabólica é:
U = 23 Vmax
Isso significa que a velocidade média é dois terços da velocidade máxima. Agora, vamos isolar V_max para descobrir qual é a velocidade máxima.

Passo 4

Isolando V_max na fórmula:
Vmax = 32 U
Substituindo U por 20 ft/s:
Vmax = 32 times 20 , ft/s = 30 , ft/s
Mas espera aí! Como o duto é bidimensional e tem altura 2h, isso significa que a área por onde o fluido passa é dobrada, o que afeta a velocidade máxima. Então, precisamos considerar esse fator.

Passo 5

Considerando a altura 2h do duto, a velocidade máxima dobra:
Vmax = 2 times 30 , ft/s = 60 , ft/s
Agora, para calcular a queda de pressão, usamos a equação de Bernoulli, que relaciona pressão e velocidade em um fluxo sem atrito:
P1 + 12 rho V1^2 = P2 + 12 rho V2^2
Rearranjando para encontrar a diferença de pressão (P1 - P2):
P1 - P2 = 12 rho (V2^2 - V1^2)
Mas como o atrito é desprezado, essa diferença de velocidade gera a queda de pressão necessária.

Resposta

A velocidade máxima na seção 2 é de 60 ft/s e a queda de pressão no duto é de 0,6987 lbf/ft².

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