Um trem com aceleração máxima
e desaceleração máxima
(módulo da aceleração de freamento) em repouso na estação
, parte do repouso e acelera uniformemente até atingir uma certa velocidade. Em seguida, mantém essa mesma velocidade por um certo tempo, até atingir um certo ponto
, e a partir desse ponto ele freia com a desaceleração máxima
até parar na estação
. Sabendo que a distância entre as estações
e
é
, calcule a distância entre a estação
e o ponto
.
Passo 1
Vamos resumir o que está acontecendo na questão e identificar o que precisamos para resolver. Temos um trem que parte da estação $ A $ em repouso, acelera uniformemente com uma aceleração máxima $ a $ até atingir uma certa velocidade. Depois, ele mantém essa velocidade constante por um tempo até chegar ao ponto $ X $. A partir de $ X $, ele começa a frear com uma desaceleração máxima $ f $ até parar na estação $ B $. A distância total entre $ A $ e $ B $ é $ d $. Nosso objetivo é calcular a distância entre a estação $ A $ e o ponto $ X $.
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente acelerado e do movimento com velocidade constante. Vamos dividir a trajetória em três partes: aceleração, movimento uniforme e desaceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o tempo que o trem leva para acelerar até a velocidade máxima $ v $. Sabemos que a aceleração $ a $ é constante e o trem parte do repouso, então podemos usar a equação:
Onde $ t_1 $ é o tempo de aceleração.
Passo 3
Rearranjando a equação para encontrar $ t_1 $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância percorrida durante a aceleração, usando a equação:
Substituindo $ t_1 $:
Passo 5
Em seguida, vamos considerar a desaceleração. O trem desacelera com uma taxa $ f $ até parar. Usamos uma equação semelhante para a desaceleração:
Onde $ t_2 $ é o tempo de desaceleração. Rearranjando:
Passo 6
Calculamos a distância percorrida durante a desaceleração:
Passo 7
Sabemos que a distância total $ d $ é a soma das distâncias de aceleração, movimento uniforme e desaceleração:
Onde $ s_2 $ é a distância percorrida no movimento uniforme.
Passo 8
Substituindo $ s_1 $ e $ s_3 $:
Queremos encontrar $ s_2 $, que é a distância entre $ A $ e $ X $:
Passo 9
Consolidando os termos:
Resposta
A distância entre a estação $ A $ e o ponto $ X $ é: