Um trem com aceleração máxima a e desaceleração máxima f (módulo da aceleração de freamento) em repouso na estação A, parte do repouso e acelera uniformemente até atingir uma certa velocidade. Em seguida, mantém essa mesma velocidade por um certo tempo, até atingir um certo ponto X, e a partir desse ponto ele freia com a desaceleração máxima f até parar na estação B. Sabendo que a distância entre as estações A e B é d, calcule a distância entre a estação A e o ponto X.

Passo 1

Vamos resumir o que está acontecendo na questão e identificar o que precisamos para resolver. Temos um trem que parte da estação $ A $ em repouso, acelera uniformemente com uma aceleração máxima $ a $ até atingir uma certa velocidade. Depois, ele mantém essa velocidade constante por um tempo até chegar ao ponto $ X $. A partir de $ X $, ele começa a frear com uma desaceleração máxima $ f $ até parar na estação $ B $. A distância total entre $ A $ e $ B $ é $ d $. Nosso objetivo é calcular a distância entre a estação $ A $ e o ponto $ X $.
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente acelerado e do movimento com velocidade constante. Vamos dividir a trajetória em três partes: aceleração, movimento uniforme e desaceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo que o trem leva para acelerar até a velocidade máxima $ v $. Sabemos que a aceleração $ a $ é constante e o trem parte do repouso, então podemos usar a equação:
v
Onde $ t_1 $ é o tempo de aceleração.

Passo 3

Rearranjando a equação para encontrar $ t_1 $:
t1

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância percorrida durante a aceleração, usando a equação:
s1 = 12 a t1^2
Substituindo $ t_1 $:
t1

Passo 5

Em seguida, vamos considerar a desaceleração. O trem desacelera com uma taxa $ f $ até parar. Usamos uma equação semelhante para a desaceleração:
f
Onde $ t_2 $ é o tempo de desaceleração. Rearranjando:
0 = v - f cdot t2

Passo 6

Calculamos a distância percorrida durante a desaceleração:
s3 = 12 f t2^2 = 12 f ( vf )^2 = v^22f

Passo 7

Sabemos que a distância total $ d $ é a soma das distâncias de aceleração, movimento uniforme e desaceleração:
d
Onde $ s_2 $ é a distância percorrida no movimento uniforme.

Passo 8

Substituindo $ s_1 $ e $ s_3 $:
s1
Queremos encontrar $ s_2 $, que é a distância entre $ A $ e $ X $:
s3

Passo 9

Consolidando os termos:
s2 = d - v^22 ( 1a + 1f )

Resposta

A distância entre a estação $ A $ e o ponto $ X $ é:
A

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