Observa-se num sistema oscilatório com amortecimento, que, após 3 segundos, sua amplitude é
do valor inicial. O período de oscilação é de 10s.
Qual a frequência natural do sistema?
Qual a frequência natural do sistema?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema oscilatório com amortecimento onde, após 3 segundos, a amplitude diminuiu para 25% do valor inicial. Sabemos também que o período de oscilação é de 10 segundos. Precisamos encontrar a frequência natural desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilação amortecida e relações entre frequência natural e frequência amortecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a frequência natural. A frequência natural (
) é a frequência com a qual o sistema oscilaria se não houvesse nenhum tipo de amortecimento. Já a frequência que observamos no sistema real com amortecimento é a frequência amortecida (
).
Passo 3
O período de oscilação dado é de 10 segundos. A relação entre o período (
) e a frequência amortecida (
) é dada por:
Substituindo
s:
Passo 4
Sabemos que a amplitude decai exponencialmente em sistemas amortecidos. A relação é:
Onde:
-
é a amplitude no tempo , -
é a amplitude inicial, -
é o coeficiente de amortecimento, -
é a frequência natural.
Dado que
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 6
Sabemos que a frequência amortecida está relacionada à frequência natural pela fórmula:
Já temos
e
.
Vamos substituir
na equação da frequência amortecida:
Passo 7
Vamos resolver a equação para
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Isolando
:
Calculando os valores:
Resposta
A frequência natural do sistema é aproximadamente
.