Observa-se num sistema oscilatório com amortecimento, que, após 3 segundos, sua amplitude é 25 % do valor inicial. O período de oscilação é de 10s.
Qual a frequência natural do sistema?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema oscilatório com amortecimento onde, após 3 segundos, a amplitude diminuiu para 25% do valor inicial. Sabemos também que o período de oscilação é de 10 segundos. Precisamos encontrar a frequência natural desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilação amortecida e relações entre frequência natural e frequência amortecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a frequência natural. A frequência natural ( ) é a frequência com a qual o sistema oscilaria se não houvesse nenhum tipo de amortecimento. Já a frequência que observamos no sistema real com amortecimento é a frequência amortecida ( ).

Passo 3

O período de oscilação dado é de 10 segundos. A relação entre o período ( omegad = 2piTd ) e a frequência amortecida ( omegad = 2pi10 = pi5 , rad/s ) é dada por:
Substituindo s:

Passo 4

Sabemos que a amplitude decai exponencialmente em sistemas amortecidos. A relação é:
A(t) = A0 e^-zeta omegan t
Onde:
  • 0,25 A0 = A0 e^-zeta omegan cdot 3 é a amplitude no tempo 0,25 = e^-3 zeta omegan ,
  • é a amplitude inicial,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a frequência natural.
Dado que :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Para resolver para ln(0,25) = -3 zeta omegan , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
- ln(4) = -3 zeta omegan
zeta omegan = ln(4)3

Passo 6

Sabemos que a frequência amortecida está relacionada à frequência natural pela fórmula:
omegad = omegan raiz1 - zeta^2
Já temos pi5 = omegan raiz1 - (ln(4)3 omegan)^2 e .
Vamos substituir na equação da frequência amortecida:

Passo 7

Vamos resolver a equação para (pi5)^2 = omegan^2 (1 - (ln(4))^29 omegan^2) . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
pi^225 = omegan^2 - (ln(4))^29
omegan^2 = pi^225 + (ln(4))^29
Isolando omegan^2 approx 9,869625 + (1,3863)^29 :
omegan^2 approx 0,3948 + 0,2133 approx 0,6081
Calculando os valores:
omegan approx raiz0,6081 approx 0,78 , rad/s

Resposta

A frequência natural do sistema é aproximadamente .

Exercícios relacionados