Um trem trafega entre dois pontos que estão afastados 2,6 km. Para manter o conforto do passageiro, a aceleração do trem e limitada a 1,2 m / s2 e a taxa de mudança da aceleração e limitada a 0,2 m / s2 por segundo. Se esse trem tem uma velocidade escalar máxima de 32 km / h, determine
(a) o tempo mais curto para o trem trafegar entre os dois terminais e
(b) a velocidade média correspondente do trem.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um trem que vai entre dois pontos que estão separados por 2,6 km. Para manter o conforto dos passageiros, a aceleração máxima do trem é de 1,2 m/s² e a taxa de mudança da aceleração (também conhecida como “jerk”) é limitada a 0,2 m/s³ por segundo. Além disso, a velocidade máxima do trem é de 32 km/h. Precisamos descobrir:
a) O tempo mais curto para o trem percorrer esses 2,6 km.
b) A velocidade média correspondente desse tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem considerar as forças que os causam. Vamos dividir a resolução em etapas claras para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Distância (s): 2,6 km = 2600 metros
  • Velocidade máxima (vₘₐₓ): 32 km/h
Para converter km/h para m/s, usamos a relação:
v (m/s) = v (km/h) times 10003600
vmáx = 32 times 10003600 approx 8,89 m/s á
Agora, temos:
  • s = 2600 m
  • a = 1,2 m/s²
  • j = 0,2 m/s³
  • vₘₐₓ ≈ 8,89 m/s

Passo 3

Vamos pensar no movimento do trem como dividido em três fases:
  1. Aceleração: O trem acelera de 0 até a velocidade máxima.
  2. Movimento a velocidade constante: O trem mantém a velocidade máxima.
  3. Desaceleração: O trem reduz a velocidade para parar nos terminais.
Como queremos o tempo mais curto, vamos assumir que o trem atinge a velocidade máxima o mais rápido possível e a mantém até precisar desacelerar.
Mas, como há uma limitação na taxa de mudança da aceleração (jerk), precisamos considerar que a aceleração não muda instantaneamente. Isso adiciona um pouco mais de complexidade aos cálculos.

Passo 4

Vamos calcular o tempo necessário para o trem acelerar até a velocidade máxima.
A aceleração máxima permitida é 1,2 m/s², mas a mudança na aceleração é limitada a 0,2 m/s³, o que significa que leva 1,2 / 0,2 = 6 segundos para atingir a aceleração máxima.
Durante esses 6 segundos, a aceleração aumenta de 0 a 1,2 m/s² de forma linear. A distância percorrida nessa fase pode ser calculada usando a fórmula:
s = 12 a t² ²
Mas como a aceleração está aumentando, usamos:
s = 16 j t³ ³
s = 16 times 0,2 times 6³ = 16 times 0,2 times 216 = 7,2 m ³
O aumento na velocidade durante essa fase é:
De²
Depois desses 6 segundos, a aceleração atinge o valor máximo de 1,2 m/s² e o trem continua acelerando até alcançar a velocidade máxima.

Passo 5

Agora, vamos calcular o tempo para aumentar a velocidade de 3,6 m/s (alcançada nos primeiros 6 segundos) até a velocidade máxima de 8,89 m/s com uma aceleração constante de 1,2 m/s².
A mudança de velocidade necessária é:
De
O tempo para essa mudança é:
t = De
A distância percorrida nessa fase é:
s = vi t + 12 a t² = 3,6 times 4,41 + 12 times 1,2 times (4,41)^2 approx 15,88 + 11,72 approx 27,6 m ²

Passo 6

Até agora, o trem acelerou até a velocidade máxima em um total de 6 + 4,41 ≈ 10,41 segundos, percorrendo 7,2 + 27,6 = 34,8 metros.
Agora, o trem está viajando a velocidade máxima de 8,89 m/s. Vamos calcular o tempo e a distância restantes até chegar aos terminais, considerando que também precisaremos desacelerar.
A desaceleração será simétrica ao que fizemos para a aceleração, então vamos precisar do mesmo tempo e distância para desacelerar.
Portanto, a distância total para acelerar e desacelerar é 2 × 34,8 ≈ 69,6 metros.
A distância restante para viajar a velocidade constante é:
2600 - 69,6 ≈ 2530,4 metros
O tempo necessário para percorrer essa distância a velocidade constante é:
t = sv = 2530,48,89 approx 284,6 s

Passo 7

Agora, somamos todo o tempo:
  • Aceleração: ≈10,41 s
  • Movimento a velocidade constante: ≈284,6 s
  • Desaceleração: ≈10,41 s
Total:
10,41 + 284,6 + 10,41 ≈ 305,4 segundos
Convertendo para minutos:
305,460 approx 5,09 minutos

Resposta

a) O tempo mais curto para o trem trafegar entre os dois terminais é aproximadamente 305,4 segundos (ou cerca de 5,09 minutos).
b) A velocidade média correspondente desse trajeto é calculada dividindo a distância total pelo tempo total:
vmédia = 2600305,4 approx 8,51 m/s approx 30,64 km/h é
Portanto, a velocidade média é de aproximadamente 30,64 km/h.

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