Um trem trafega entre dois pontos que estão afastados
. Para manter o conforto do passageiro, a aceleração do trem e limitada a
a taxa de mudança da aceleração e limitada a
por segundo. Se esse trem tem uma velocidade escalar máxima de
, determine
(a) o tempo mais curto para o trem trafegar entre os dois terminais e
(b) a velocidade média correspondente do trem.
(a) o tempo mais curto para o trem trafegar entre os dois terminais e
(b) a velocidade média correspondente do trem.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um trem que vai entre dois pontos que estão separados por 2,6 km. Para manter o conforto dos passageiros, a aceleração máxima do trem é de 1,2 m/s² e a taxa de mudança da aceleração (também conhecida como “jerk”) é limitada a 0,2 m/s³ por segundo. Além disso, a velocidade máxima do trem é de 32 km/h. Precisamos descobrir:
a) O tempo mais curto para o trem percorrer esses 2,6 km.
b) A velocidade média correspondente desse tempo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem considerar as forças que os causam. Vamos dividir a resolução em etapas claras para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
- Distância (s): 2,6 km = 2600 metros
- Velocidade máxima (vₘₐₓ): 32 km/h
Para converter km/h para m/s, usamos a relação:
Agora, temos:
- s = 2600 m
- a = 1,2 m/s²
- j = 0,2 m/s³
- vₘₐₓ ≈ 8,89 m/s
Passo 3
Vamos pensar no movimento do trem como dividido em três fases:
- Aceleração: O trem acelera de 0 até a velocidade máxima.
- Movimento a velocidade constante: O trem mantém a velocidade máxima.
- Desaceleração: O trem reduz a velocidade para parar nos terminais.
Como queremos o tempo mais curto, vamos assumir que o trem atinge a velocidade máxima o mais rápido possível e a mantém até precisar desacelerar.
Mas, como há uma limitação na taxa de mudança da aceleração (jerk), precisamos considerar que a aceleração não muda instantaneamente. Isso adiciona um pouco mais de complexidade aos cálculos.
Passo 4
Vamos calcular o tempo necessário para o trem acelerar até a velocidade máxima.
A aceleração máxima permitida é 1,2 m/s², mas a mudança na aceleração é limitada a 0,2 m/s³, o que significa que leva 1,2 / 0,2 = 6 segundos para atingir a aceleração máxima.
Durante esses 6 segundos, a aceleração aumenta de 0 a 1,2 m/s² de forma linear. A distância percorrida nessa fase pode ser calculada usando a fórmula:
Mas como a aceleração está aumentando, usamos:
O aumento na velocidade durante essa fase é:
Depois desses 6 segundos, a aceleração atinge o valor máximo de 1,2 m/s² e o trem continua acelerando até alcançar a velocidade máxima.
Passo 5
Agora, vamos calcular o tempo para aumentar a velocidade de 3,6 m/s (alcançada nos primeiros 6 segundos) até a velocidade máxima de 8,89 m/s com uma aceleração constante de 1,2 m/s².
A mudança de velocidade necessária é:
O tempo para essa mudança é:
A distância percorrida nessa fase é:
Passo 6
Até agora, o trem acelerou até a velocidade máxima em um total de 6 + 4,41 ≈ 10,41 segundos, percorrendo 7,2 + 27,6 = 34,8 metros.
Agora, o trem está viajando a velocidade máxima de 8,89 m/s. Vamos calcular o tempo e a distância restantes até chegar aos terminais, considerando que também precisaremos desacelerar.
A desaceleração será simétrica ao que fizemos para a aceleração, então vamos precisar do mesmo tempo e distância para desacelerar.
Portanto, a distância total para acelerar e desacelerar é 2 × 34,8 ≈ 69,6 metros.
A distância restante para viajar a velocidade constante é:
O tempo necessário para percorrer essa distância a velocidade constante é:
Passo 7
Agora, somamos todo o tempo:
- Aceleração: ≈10,41 s
- Movimento a velocidade constante: ≈284,6 s
- Desaceleração: ≈10,41 s
Total:
Convertendo para minutos:
Resposta
a) O tempo mais curto para o trem trafegar entre os dois terminais é aproximadamente 305,4 segundos (ou cerca de 5,09 minutos).
b) A velocidade média correspondente desse trajeto é calculada dividindo a distância total pelo tempo total:
Portanto, a velocidade média é de aproximadamente 30,64 km/h.
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