(a) Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de 20 mm , sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo de 80 MPa . (b) Resolva a parte a considerando que a seção transversal cheia foi substituída por um eixo vazado com a mesma área de seção transversal e com um diâmetro interno igual á metade de seu próprio diâmetro externo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o torque que pode ser aplicado a um eixo sem ultrapassar a tensão de cisalhamento máxima permitida. No item (a), estamos lidando com um eixo de seção cheia com diâmetro de 20 mm e resistência à cisalhamento de 80 MPa. No item (b), vamos considerar o mesmo eixo, mas agora vazado, com diâmetro interno igual à metade do externo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de torque, tensão de cisalhamento e momento polar de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre torque ( tau = T cdot rJ ), tensão de cisalhamento ( T = tau cdot Jr ) e o momento polar de inércia ( ). A fórmula que conecta esses elementos é:
Onde:
  • é a tensão de cisalhamento admissível,
  • é o torque aplicado,
  • é o raio do eixo,
  • é o momento polar de inércia da seção transversal.
Nosso objetivo é encontrar o torque , então vamos reorganizar a fórmula:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o momento polar de inércia J = pi cdot d^432 para a seção cheia e para a seção vazada. Para um eixo circular de seção cheia, é dado por:
Onde é o diâmetro do eixo. No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular o momento polar de inércia J = pi cdot (20)^432 = pi cdot 16000032 = 5000pi , mm^4 para a seção cheia:

Passo 5

Com T = tau cdot Jr conhecido, podemos usar a fórmula do torque:
r = d2 = 202 = 10 , mm
Primeiro, calculamos o raio T = 80 times 10^6 , Pa cdot 5000pi times 10^-12 , m^40.01 , m = 80 times 5000pi times 10^-60.01 = 80 times 5000pi times 10^-4 = 80 times 1.5708 , Nm approx 125.66 , Nm :
Agora, substituímos os valores:

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte (b), onde o eixo passa a ser vazado. O diâmetro interno di = 202 = 10 , mm é metade do diâmetro externo , então:

Passo 7

O momento polar de inércia J = pi32 (do^4 - di^4) para um eixo vazado é dado por:
J = pi32 (20^4 - 10^4) = pi32 (160000 - 10000) = pi32 times 150000 = 4687.5pi , mm^4
Substituindo os valores:

Passo 8

Usando a fórmula do torque novamente:
T = tau cdot Jr
O raio efetivo para o eixo vazado pode ser considerado como T = 80 times 10^6 , Pa cdot 4687.5pi times 10^-12 , m^40.01 , m = 80 times 4687.5pi times 10^-60.01 = 80 times 4687.5pi times 10^-4 approx 80 times 1.471 , Nm approx 117.68 , Nm .
Substituindo os valores:

Resposta

(a) O torque máximo que pode ser aplicado ao eixo de seção cheia é aproximadamente 125,66 Nm.
(b) Considerando o eixo vazado, o torque máximo é aproximadamente 117,68 Nm.

Exercícios relacionados