(a) Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de 20 mm , sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo de 80 MPa . (b) Resolva a parte a considerando que a seção transversal cheia foi substituída por um eixo vazado com a mesma área de seção transversal e com um diâmetro interno igual á metade de seu próprio diâmetro externo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o torque que pode ser aplicado a um eixo sem ultrapassar a tensão de cisalhamento máxima permitida. No item (a), estamos lidando com um eixo de seção cheia com diâmetro de 20 mm e resistência à cisalhamento de 80 MPa. No item (b), vamos considerar o mesmo eixo, mas agora vazado, com diâmetro interno igual à metade do externo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de torque, tensão de cisalhamento e momento polar de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre torque ( ), tensão de cisalhamento ( ) e o momento polar de inércia ( ). A fórmula que conecta esses elementos é:
Onde:
  • é a tensão de cisalhamento admissível,
  • é o torque aplicado,
  • é o raio do eixo,
  • é o momento polar de inércia da seção transversal.
Nosso objetivo é encontrar o torque , então vamos reorganizar a fórmula:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o momento polar de inércia para a seção cheia e para a seção vazada. Para um eixo circular de seção cheia, é dado por:
Onde é o diâmetro do eixo. No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular o momento polar de inércia para a seção cheia:

Passo 5

Com conhecido, podemos usar a fórmula do torque:
Primeiro, calculamos o raio :
Agora, substituímos os valores:

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte (b), onde o eixo passa a ser vazado. O diâmetro interno é metade do diâmetro externo , então:

Passo 7

O momento polar de inércia para um eixo vazado é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 8

Usando a fórmula do torque novamente:
O raio efetivo para o eixo vazado pode ser considerado como .
Substituindo os valores:

Resposta

(a) O torque máximo que pode ser aplicado ao eixo de seção cheia é aproximadamente 125,66 Nm.
(b) Considerando o eixo vazado, o torque máximo é aproximadamente 117,68 Nm.

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