(a) Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de 20 mm , sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo de 80 MPa . (b) Resolva a parte a considerando que a seção transversal cheia foi substituída por um eixo vazado com a mesma área de seção transversal e com um diâmetro interno igual á metade de seu próprio diâmetro externo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o torque que pode ser aplicado a um eixo sem ultrapassar a tensão de cisalhamento máxima permitida. No item (a), estamos lidando com um eixo de seção cheia com diâmetro de 20 mm e resistência à cisalhamento de 80 MPa. No item (b), vamos considerar o mesmo eixo, mas agora vazado, com diâmetro interno igual à metade do externo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de torque, tensão de cisalhamento e momento polar de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre torque (
), tensão de cisalhamento (
) e o momento polar de inércia (
). A fórmula que conecta esses elementos é:
Onde:
-
é a tensão de cisalhamento admissível, -
é o torque aplicado, -
é o raio do eixo, -
é o momento polar de inércia da seção transversal.
Nosso objetivo é encontrar o torque
, então vamos reorganizar a fórmula:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o momento polar de inércia
para a seção cheia e para a seção vazada. Para um eixo circular de seção cheia,
é dado por:
Onde
é o diâmetro do eixo. No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos calcular o momento polar de inércia
para a seção cheia:
Passo 5
Com
conhecido, podemos usar a fórmula do torque:
Primeiro, calculamos o raio
:
Agora, substituímos os valores:
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte (b), onde o eixo passa a ser vazado. O diâmetro interno
é metade do diâmetro externo
, então:
Passo 7
O momento polar de inércia
para um eixo vazado é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 8
Usando a fórmula do torque novamente:
O raio efetivo para o eixo vazado pode ser considerado como
.
Substituindo os valores:
Resposta
(a) O torque máximo que pode ser aplicado ao eixo de seção cheia é aproximadamente 125,66 Nm.
(b) Considerando o eixo vazado, o torque máximo é aproximadamente 117,68 Nm.
(b) Considerando o eixo vazado, o torque máximo é aproximadamente 117,68 Nm.
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