Um trenó de massa
parte do repouso do ponto
acima do ponto B, carregando uma menina e um menino de massas
e
, respectivamente. Quando o trenó atinge o ponto mais baixo B, o menino é empurrado para fora do trenó para trás com velocidade horizontal relativa de
, medida com relação ao trenó. Desconsidere o atrito entre o trenó e a superfície.(a) Calcule a velocidade final do trenó depois que o menino caiu.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um trenó que desce de uma altura e, no ponto mais baixo, um menino é empurrado para fora. Vamos precisar usar conceitos de conservação de energia para encontrar a velocidade do trenó no ponto B e depois aplicar a conservação do momento linear para descobrir a velocidade final do trenó depois que o menino cai. Então, vamos ao que interessa!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade do trenó quando ele chega no ponto B, antes do menino ser empurrado para fora. Como não tem atrito, a energia potencial do trenó no ponto A se transforma totalmente em energia cinética no ponto B.
A fórmula da energia potencial é:
E a da energia cinética é:
Como $ E_p = E_k $, temos:
Podemos simplificar o $ m $ dos dois lados:
Isolando $ v $:
Passo 3
Vamos substituir os valores:
- $ g = 9,81 , m/s^2 $
- $ h = 3,00 , m $
Então:
Isso é a velocidade do trenó no ponto B antes de qualquer coisa acontecer.
Passo 4
Agora, no ponto B, o menino é empurrado para trás com uma velocidade relativa de $ v_R = 2,00 , m/s $ em relação ao trenó. Precisamos encontrar a velocidade final do trenó depois que o menino cai fora.
Aqui, usamos a conservação do momento linear. O momento total antes do menino ser empurrado deve ser igual ao momento total depois.
Antes do empurrão:
- Massa total: $ m_{total} = m_{trenó} + m_{menina} + m_{menino} = 10 + 40 + 45 = 95 , kg $
- Momento total: $ p_{antes} = m_{total} \cdot v_{inicial} = 95 \cdot 7,67 $
Depois do empurrão:
- Massa do trenó + menina: $ m_{novo} = 10 + 40 = 50 , kg $
- Momento do trenó + menina: $ p_{trenó} = 50 \cdot v_{final} $
- Momento do menino: $ p_{menino} = 45 \cdot (v_{final} - v_R) $ (porque ele é empurrado para trás)
Então:
Passo 5
Vamos resolver a equação:
Somando 90 dos dois lados:
Agora, isolamos $ v_{final} $:
Resposta
A velocidade final do trenó depois que o menino caiu é aproximadamente 8,62 m/s.