Um trenó de massa 10,0 kg parte do repouso do ponto A, 3,00 m acima do ponto B, carregando uma menina e um menino de massas 40,0 kg e 45,0 kg, respectivamente. Quando o trenó atinge o ponto mais baixo B, o menino é empurrado para fora do trenó para trás com velocidade horizontal relativa de vR=2,00 m / s, medida com relação ao trenó. Desconsidere o atrito entre o trenó e a superfície.(a) Calcule a velocidade final do trenó depois que o menino caiu. (g=9,81 m / s^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um trenó que desce de uma altura e, no ponto mais baixo, um menino é empurrado para fora. Vamos precisar usar conceitos de conservação de energia para encontrar a velocidade do trenó no ponto B e depois aplicar a conservação do momento linear para descobrir a velocidade final do trenó depois que o menino cai. Então, vamos ao que interessa!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do trenó quando ele chega no ponto B, antes do menino ser empurrado para fora. Como não tem atrito, a energia potencial do trenó no ponto A se transforma totalmente em energia cinética no ponto B.
A fórmula da energia potencial é:
Ep = m cdot g cdot h
E a da energia cinética é:
Ek = 12 cdot m cdot v^2
Como $ E_p = E_k $, temos:
Ep = Ek
Podemos simplificar o $ m $ dos dois lados:
m cdot g cdot h = 12 cdot m cdot v^2
Isolando $ v $:
m

Passo 3

Vamos substituir os valores:
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $
  • $ h = 3,00 , m $
Então:
g = 9,81 , m/s^2
h = 3,00 , m
v = raiz2 cdot 9,81 cdot 3
Isso é a velocidade do trenó no ponto B antes de qualquer coisa acontecer.

Passo 4

Agora, no ponto B, o menino é empurrado para trás com uma velocidade relativa de $ v_R = 2,00 , m/s $ em relação ao trenó. Precisamos encontrar a velocidade final do trenó depois que o menino cai fora.
Aqui, usamos a conservação do momento linear. O momento total antes do menino ser empurrado deve ser igual ao momento total depois.
Antes do empurrão:
  • Massa total: $ m_{total} = m_{trenó} + m_{menina} + m_{menino} = 10 + 40 + 45 = 95 , kg $
  • Momento total: $ p_{antes} = m_{total} \cdot v_{inicial} = 95 \cdot 7,67 $
Depois do empurrão:
  • Massa do trenó + menina: $ m_{novo} = 10 + 40 = 50 , kg $
  • Momento do trenó + menina: $ p_{trenó} = 50 \cdot v_{final} $
  • Momento do menino: $ p_{menino} = 45 \cdot (v_{final} - v_R) $ (porque ele é empurrado para trás)
Então:
vR = 2,00 , m/s
mtotal = mtrenó + mmenina + mmenino = 10 + 40 + 45 = 95 , kg

Passo 5

Vamos resolver a equação:
95 cdot 7,67 = 50 cdot vfinal + 45 cdot vfinal - 90
729,65 = 95 cdot vfinal - 90
Somando 90 dos dois lados:
729,65 + 90 = 95 cdot vfinal
819,65 = 95 cdot vfinal
Agora, isolamos $ v_{final} $:
vfinal
vfinal = 819,6595

Resposta

A velocidade final do trenó depois que o menino caiu é aproximadamente 8,62 m/s.

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