Escreva as expressões para a função
para uma onda senoidal propagando na direção negativa de
sabendo-se que
com as seguintes condições iniciais:
a)
em
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa escrever as expressões para a função $ y(x, t) $ de uma onda senoidal que se propaga na direção negativa do eixo $ x $. Os dados que temos são:
- Amplitude máxima $ y_{max} = 40 $ cm
- Comprimento de onda $ \lambda = 30 $ cm
- Frequência $ f = 10 $ Hz
- Condição inicial: $ y(x, 0) = 0 $ em $ x = 0 $
Vamos usar conceitos de ondas senoidais, onde a função geral é dada por:
Aqui, $ k $ é o número de onda, $ \omega $ é a frequência angular, e $ \phi $ é a fase inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número de onda $ k $ e a frequência angular $ \omega $. Sabemos que:
Substituindo os valores:
Passo 3
Como a onda se propaga na direção negativa do $ x $, usamos o sinal positivo na fórmula geral:
Substituindo $ k $ e $ \omega $:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(x, 0) = 0 $ em $ x = 0 $:
Simplificando:
Isso implica que $ \sin(\phi) = 0 $. As soluções para isso são $ \phi = 0 $ ou $ \phi = \pi $.
Passo 5
Vamos considerar as duas possibilidades para $ \phi $:
- Se $ \phi = 0 $:
- Se $ \phi = \pi $:
Lembrando que $ \sin(\theta + \pi) = -\sin(\theta) $, podemos simplificar:
Passo 6
Resumindo, temos duas possíveis expressões para $ y(x, t) $ dependendo da fase inicial $ \phi $:
- Com $ \phi = 0 $:
- Com $ \phi = \pi $:
Resposta
As expressões para a função $ y(x, t) $ são:
-
$ y(x, t) = -40, cm \cdot \sin\left(20\pi t + \frac{20\pi}{3} x\right) $, se $ \phi = \frac{\pi}{2} $
-
$ y(x, t) = 40, cm \cdot \sin\left(20\pi t + \frac{20\pi}{3} x\right) $, se $ \phi = -\frac{\pi}{2} $