Escreva as expressões para a função y(x, t) para uma onda senoidal propagando na direção negativa de x sabendo-se que ymax =40 cm, lambda=30 cm, f=10 Hz com as seguintes condições iniciais:
a) y(x, 0)=0 em x=0;
Resposta: 1- & y(x, t)=-40 sen(20 pi t+20 pi beta x) cm, se phi=pi / 2, 2- & y(x, t)=40 sen(20 pi t+20 pi / 3 x) cm, se phi=-pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa escrever as expressões para a função $ y(x, t) $ de uma onda senoidal que se propaga na direção negativa do eixo $ x $. Os dados que temos são:
  • Amplitude máxima $ y_{max} = 40 $ cm
  • Comprimento de onda $ \lambda = 30 $ cm
  • Frequência $ f = 10 $ Hz
  • Condição inicial: $ y(x, 0) = 0 $ em $ x = 0 $
Vamos usar conceitos de ondas senoidais, onde a função geral é dada por:
y(x, t)
Aqui, $ k $ é o número de onda, $ \omega $ é a frequência angular, e $ \phi $ é a fase inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número de onda $ k $ e a frequência angular $ \omega $. Sabemos que:
k
omega
Substituindo os valores:
k = 2pilambda
omega = 2pi f

Passo 3

Como a onda se propaga na direção negativa do $ x $, usamos o sinal positivo na fórmula geral:
x
Substituindo $ k $ e $ \omega $:
y(x, t) = ymax cdot sin(kx + omega t + phi)

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(x, 0) = 0 $ em $ x = 0 $:
y(x, 0) = 0
Simplificando:
x = 0
Isso implica que $ \sin(\phi) = 0 $. As soluções para isso são $ \phi = 0 $ ou $ \phi = \pi $.

Passo 5

Vamos considerar as duas possibilidades para $ \phi $:
  1. Se $ \phi = 0 $:
phi
  1. Se $ \phi = \pi $:
phi = 0
Lembrando que $ \sin(\theta + \pi) = -\sin(\theta) $, podemos simplificar:
y(x, t) = 40, cm cdot sin(pi15x + 20pi t)

Passo 6

Resumindo, temos duas possíveis expressões para $ y(x, t) $ dependendo da fase inicial $ \phi $:
  1. Com $ \phi = 0 $:
y(x, t)
  1. Com $ \phi = \pi $:
phi

Resposta

As expressões para a função $ y(x, t) $ são:
  1. $ y(x, t) = -40, cm \cdot \sin\left(20\pi t + \frac{20\pi}{3} x\right) $, se $ \phi = \frac{\pi}{2} $
  2. $ y(x, t) = 40, cm \cdot \sin\left(20\pi t + \frac{20\pi}{3} x\right) $, se $ \phi = -\frac{\pi}{2} $

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