Três blocos A, B e C estão ligados por um fio inextensível de massa desprezível e polias ideias. Nos planos inclinados, 1 e 2, onde se encontram os blocos A e C, respectivamente, há atrito, com coeficientes dados por μ1 = 0,7 e μ2 = 0,6. Considerando g = 10 m/s², mA= 6 kg, mB= 10 kg, mC= 4 kg, α = 30°, θ = 45°, Determine a tração nas cordas entre os blocos AB e BC.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e entender quais conceitos vamos usar. Temos três blocos ligados por um fio que não se estica e sem massa, passando por polias ideais (que não atrapalham). Os blocos A e C estão em planos inclinados que têm atrito, com coeficientes mu1 = 0,7 e mu2 = 0,6. As massas são mA = 6,kg, mB = 10,kg e mC = 4,kg, e os ângulos dos planos são alpha = 30° e theta = 45°. Queremos descobrir a tração (força na corda) entre os blocos AB e BC. Para isso, vamos usar as leis do movimento de Newton e considerar as forças de atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada bloco. Nos planos inclinados, temos o peso dos blocos, que pode ser decomposto em duas componentes: uma paralela ao plano e outra perpendicular. A componente paralela é responsável pelo movimento, e a perpendicular é relacionada ao atrito.

Passo 3

Vamos calcular as componentes do peso para cada bloco nos planos inclinados. A componente paralela é m cdot g cdot sin(theta) e a perpendicular é m cdot g cdot cos(theta), onde theta é o ângulo do plano inclinado.

Passo 4

Agora, vamos calcular a força de atrito para cada plano. A força de atrito é dada por Fatrito = mu cdot N, onde N é a força normal, que, neste caso, é igual à componente perpendicular do peso. Então, para o bloco A no plano 1:
Fatrito1 = mu1 cdot mA cdot g cdot cos(alpha)
E para o bloco C no plano 2:
Fatrito2 = mu2 cdot mC cdot g cdot cos(theta)

Passo 5

Vamos expressar as equações de movimento para cada bloco. Considerando que o sistema está em movimento com aceleração a, temos:
Para o bloco A:
mA cdot a = mA cdot g cdot sin(alpha) - Fatrito1 - TAB
Para o bloco B:
mB cdot a = TAB - TBC
Para o bloco C:
mC cdot a = TBC - mC cdot g cdot sin(theta) - Fatrito2

Passo 6

Agora, substituímos as expressões das forças de atrito nas equações de movimento:
Para o bloco A:
6a = 6 cdot 10 cdot sin(30°) - 0,7 cdot 6 cdot 10 cdot cos(30°) - TAB
Para o bloco B:
10a = TAB - TBC
Para o bloco C:
4a = TBC - 4 cdot 10 cdot sin(45°) - 0,6 cdot 4 cdot 10 cdot cos(45°)

Passo 7

Vamos resolver as equações passo a passo. Primeiro, calculamos os valores numéricos das funções trigonométricas e das forças de atrito.
Para o bloco A:
6a = 6 cdot 10 cdot 0,5 - 0,7 cdot 6 cdot 10 cdot 0,866 - TAB
6a = 30 - 36,5 - TAB
6a = -6,5 - TAB
Para o bloco C:
4a = TBC - 4 cdot 10 cdot 0,707 - 0,6 cdot 4 cdot 10 cdot 0,707
4a = TBC - 28,28 - 16,97
4a = TBC - 45,25

Passo 8

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. 6a = -6,5 - TAB
  2. 10a = TAB - TBC
  3. 4a = TBC - 45,25
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos TAB:
TAB = -6,5 - 6a
Substituímos TAB na segunda equação:
10a = (-6,5 - 6a) - TBC
10a + 6a + 6,5 = -TBC
16a + 6,5 = -TBC
TBC = -16a - 6,5
Substituímos TBC na terceira equação:
4a = (-16a - 6,5) - 45,25
4a = -16a - 51,75
20a = -51,75
a = -2,5875 , m/s² ²

Passo 9

Com a aceleração encontrada, substituímos de volta para achar as trações.
Primeiro, TBC:
TBC = -16(-2,5875) - 6,5
TBC = 41,4 - 6,5
TBC = 34,9 , N
Agora, TAB:
TAB = -6,5 - 6(-2,5875)
TAB = -6,5 + 15,525
TAB = 9,025 , N

Resposta

A tração na corda entre os blocos AB é aproximadamente 9,03,N e a tração na corda entre os blocos BC é aproximadamente 34,9,N.

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