Três frequências sucessivas de um tubo de órgão aberto em ambas as extremidades são as seguintes: 165 Hz, 220 Hz e 275 Hz. Determine a frequência (em Hz) do harmônico fundamental.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as três frequências sucessivas de um tubo de órgão que está aberto em ambas as extremidades: 165 Hz, 220 Hz e 275 Hz. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre harmônicos em tubos abertos, e para resolver isso, vamos precisar entender como os harmônicos funcionam e usar algumas fórmulas básicas dessa matéria.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que em um tubo aberto em ambas as extremidades, os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Isso significa que a segunda frequência (segundo harmônico) é 2 vezes a fundamental, a terceira é 3 vezes, e assim por diante. A fórmula básica é:
onde:
- $ f_n $ é a frequência do n-ésimo harmônico,
- $ f_1 $ é a frequência fundamental,
- $ n $ é o número do harmônico (1, 2, 3, …).
Passo 3
Vamos chamar as três frequências dadas de $ f_1 $, $ f_2 $ e $ f_3 $ para facilitar. Sabemos que elas são sucessivas, ou seja, cada uma é o próximo harmônico após a anterior. Então podemos escrever:
Mas como temos os valores reais dessas frequências, vamos usar as diferenças entre elas para encontrar $ f_{fundamental} $.
Passo 4
Observando as frequências:
- A diferença entre $ f_2 $ e $ f_1 $ é $ 220 , Hz - 165 , Hz = 55 , Hz $.
- A diferença entre $ f_3 $ e $ f_2 $ é $ 275 , Hz - 220 , Hz = 55 , Hz $.
Essa diferença constante indica que cada harmônico está separado por $ 55 , Hz $, o que sugere que esse valor corresponde à frequência fundamental multiplicada pelo número do harmônico.
Passo 5
Como a diferença entre os harmônicos é constante e igual a $ 55 , Hz $, podemos concluir que:
Isso porque $ 55 , Hz $ é a base que, multiplicada por 1, 2, 3, etc., nos dá os harmônicos seguintes.
Resposta
A frequência do harmônico fundamental é 55 Hz.