Três partículas de massas se
e
estão inicialmente nas posições, em metros,
,
e
, movendo-se com acelerações constantes, respectivamente iguais a
,
e
. Se as partículas estavam inicialmente em repouso, determine a posição e a velocidade do centro de massa após 10 segundos. Explique o seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de mecânica envolvendo o centro de massa de três partículas. As partículas têm diferentes massas e estão se movendo com acelerações constantes. Precisamos descobrir onde está o centro de massa após 10 segundos e qual é a sua velocidade nessa hora. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o centro de massa e usar as equações do movimento com aceleração constante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as massas das partículas. Sabemos que $ m_1 = m_2 $ e $ m_3 = 10m_1 $. Vamos chamar $ m_1 $ de $ m $. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a massa total do sistema. Isso é simplesmente a soma das massas individuais:
Passo 4
O centro de massa é dado pela média ponderada das posições das partículas, considerando suas massas. A fórmula é:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, multiplicamos cada posição pela respectiva massa:
Passo 6
Agora, somamos esses resultados:
Passo 7
Dividimos pelo total $ M = 12m $ para encontrar a posição do centro de massa:
Passo 8
Agora, vamos calcular a velocidade do centro de massa. Como as partículas começam em repouso e têm acelerações constantes, usamos a fórmula da velocidade com aceleração constante:
Primeiro, encontramos a aceleração do centro de massa:
Passo 9
Multiplicamos cada aceleração pela respectiva massa:
Passo 10
Somamos esses resultados:
Passo 11
Dividimos pelo total $ M = 12m $ para encontrar a aceleração do centro de massa:
Passo 12
Agora, usamos a fórmula da velocidade com aceleração constante após 10 segundos:
Passo 13
Portanto, a posição e a velocidade do centro de massa após 10 segundos são:
Resposta
Após 10 segundos, o centro de massa está na posição
metros e possui uma velocidade de
metros por segundo.