Três partículas de massas se m1=m2 e m3=10m1 estão inicialmente nas posições, em metros, r1=(1,2,0), r2=(2,−1,4) e r3=(−3,3,2), movendo-se com acelerações constantes, respectivamente iguais a a1=(2,0,0) m/s^2, a2=(0,4,2) m/s^2 e a3=(−1,−2,1) m/s^2. Se as partículas estavam inicialmente em repouso, determine a posição e a velocidade do centro de massa após 10 segundos. Explique o seu raciocínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de mecânica envolvendo o centro de massa de três partículas. As partículas têm diferentes massas e estão se movendo com acelerações constantes. Precisamos descobrir onde está o centro de massa após 10 segundos e qual é a sua velocidade nessa hora. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o centro de massa e usar as equações do movimento com aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as massas das partículas. Sabemos que $ m_1 = m_2 $ e $ m_3 = 10m_1 $. Vamos chamar $ m_1 $ de $ m $. Então:
m1 = m2

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa total do sistema. Isso é simplesmente a soma das massas individuais:
M = m1 + m2 + m3 = m + m + 10m = 12m

Passo 4

O centro de massa é dado pela média ponderada das posições das partículas, considerando suas massas. A fórmula é:
R = m1 r1 + m2 r2 + m3 r3M
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, multiplicamos cada posição pela respectiva massa:
m1 r1 = m cdot (1, 2, 0) = (m, 2m, 0)
m2 r2 = m cdot (2, -1, 4) = (2m, -m, 4m)
m3 r3 = 10m cdot (-3, 3, 2) = (-30m, 30m, 20m)

Passo 6

Agora, somamos esses resultados:
m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 = (m + 2m - 30m, 2m - m + 30m, 0 + 4m + 20m) = (-27m, 31m, 24m)

Passo 7

Dividimos pelo total $ M = 12m $ para encontrar a posição do centro de massa:
M = 12m

Passo 8

Agora, vamos calcular a velocidade do centro de massa. Como as partículas começam em repouso e têm acelerações constantes, usamos a fórmula da velocidade com aceleração constante:
v = a cdot t
Primeiro, encontramos a aceleração do centro de massa:
aCM = m1 a1 + m2 a2 + m3 a3M

Passo 9

Multiplicamos cada aceleração pela respectiva massa:
m1 a1 = m cdot (2, 0, 0) = (2m, 0, 0)
m2 a2 = m cdot (0, 4, 2) = (0, 4m, 2m)
m3 a3 = 10m cdot (-1, -2, 1) = (-10m, -20m, 10m)

Passo 10

Somamos esses resultados:
m1 a1 + m2 a2 + m3 a3 = (2m + 0 - 10m, 0 + 4m - 20m, 0 + 2m + 10m) = (-8m, -16m, 12m)

Passo 11

Dividimos pelo total $ M = 12m $ para encontrar a aceleração do centro de massa:
M = 12m

Passo 12

Agora, usamos a fórmula da velocidade com aceleração constante após 10 segundos:
vCM = aCM cdot t = ( -0.6667, -1.3333, 1 ) cdot 10 = (-6.6667, -13.3333, 10) m/s

Passo 13

Portanto, a posição e a velocidade do centro de massa após 10 segundos são:
R = (-2.25, 2.583, 2) metros
vCM = (-6.6667, -13.3333, 10) m/s

Resposta

Após 10 segundos, o centro de massa está na posição (-2.25,2.583,2) metros e possui uma velocidade de (-6.6667,-13.3333,10) metros por segundo.

Exercícios relacionados