Calcule, por integração, as coordenadas do centro de massa de massa de uma placa retangular de base b e altura h, de espessura desprezível, centrada na origem do sistema cartesiano. Explique o seu raciocínio.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Centro de Massa utilizando integração. O problema pede para calcular as coordenadas do centro de massa de uma placa retangular com base b e altura h, centrada na origem do sistema cartesiano. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como calcular o centro de massa de uma distribuição contínua de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa (barx, bary) de uma placa é dado pelas fórmulas:
barx = 1M integral integral x , dm
bary = 1M integral integral y , dm
onde M é a massa total da placa.

Passo 3

Como a placa tem espessura desprezível e está centrada na origem, podemos considerar que a densidade de massa sigma é constante. Assim, dm = sigma , dA, onde dA é um elemento de área.

Passo 4

Vamos calcular a massa total M. A área da placa é A = b times h, então:
M = sigma times A = sigma times b times h

Passo 5

Agora, vamos calcular barx. Como a placa é simétrica em relação ao eixo y, os valores positivos e negativos de x se cancelam. Assim:
barx = 1M integral-b/2^b/2 integral-h/2^h/2 x , sigma , dy , dx = 0

Passo 6

De maneira semelhante, para bary, a simetria em relação ao eixo x faz com que os valores positivos e negativos de y se anulem:
bary = 1M integral-b/2^b/2 integral-h/2^h/2 y , sigma , dy , dx = 0

Resposta

As coordenadas do centro de massa são (barx, bary) = (0, 0).

Exercícios relacionados