Calcule, por integração, as coordenadas do centro de massa de massa de uma placa retangular de base
e altura
, de espessura desprezível, centrada na origem do sistema cartesiano. Explique o seu raciocínio.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Centro de Massa utilizando integração. O problema pede para calcular as coordenadas do centro de massa de uma placa retangular com base
e altura
, centrada na origem do sistema cartesiano. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como calcular o centro de massa de uma distribuição contínua de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa
de uma placa é dado pelas fórmulas:
onde
é a massa total da placa.
Passo 3
Como a placa tem espessura desprezível e está centrada na origem, podemos considerar que a densidade de massa
é constante. Assim,
, onde
é um elemento de área.
Passo 4
Vamos calcular a massa total
. A área da placa é
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Como a placa é simétrica em relação ao eixo
, os valores positivos e negativos de
se cancelam. Assim:
Passo 6
De maneira semelhante, para
, a simetria em relação ao eixo
faz com que os valores positivos e negativos de
se anulem:
Resposta
As coordenadas do centro de massa são
.