Em um triangulo retângulo a altura relativa a hipotenusa mede 12cm e a diferença entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7cm, qual a medida da hipotenusa desse triangulo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um triângulo retângulo onde a altura relativa à hipotenusa é de 12 cm. Além disso, a diferença entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa é de 7 cm. Nosso objetivo é descobrir quanto mede a hipotenusa desse triângulo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos triângulos retângulos, como a relação entre altura, hipotenusa e projeções dos catetos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide a hipotenusa em duas partes, que são as projeções dos catetos sobre ela. Vamos chamar a hipotenusa de $ h $, e as projeções dos catetos de $ p $ e $ q $.
Sabemos que:
E também que a diferença entre as projeções é de 7 cm:
Passo 3
Agora, temos um sistema de duas equações:
Podemos resolver esse sistema somando as duas equações:
Substituindo $ p $ na primeira equação:
Passo 4
Sabemos também que a altura relativa à hipotenusa está relacionada com as projeções dos catetos pela fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ h $:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Obtemos duas soluções:
Como a hipotenusa não pode ser negativa, descartamos $ h = -1 $.
Resposta
A hipotenusa desse triângulo mede 49 cm.