Em um triangulo retângulo a altura relativa a hipotenusa mede 12cm e a diferença entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7cm, qual a medida da hipotenusa desse triangulo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um triângulo retângulo onde a altura relativa à hipotenusa é de 12 cm. Além disso, a diferença entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa é de 7 cm. Nosso objetivo é descobrir quanto mede a hipotenusa desse triângulo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos triângulos retângulos, como a relação entre altura, hipotenusa e projeções dos catetos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide a hipotenusa em duas partes, que são as projeções dos catetos sobre ela. Vamos chamar a hipotenusa de $ h $, e as projeções dos catetos de $ p $ e $ q $.
Sabemos que:
h
E também que a diferença entre as projeções é de 7 cm:
p

Passo 3

Agora, temos um sistema de duas equações:
p + q = h p - q = 7
Podemos resolver esse sistema somando as duas equações:
(p + q) + (p - q) = h + 7 2p = h + 7 p = h + 72
Substituindo $ p $ na primeira equação:
p

Passo 4

Sabemos também que a altura relativa à hipotenusa está relacionada com as projeções dos catetos pela fórmula:
a
Substituindo os valores que encontramos:
12 = (h + 72) cdot (h - 72)h 12 = (h + 7)(h - 7)4h 12 = h^2 - 494h

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ h $:
h
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
12 = h^2 - 494h 12 cdot 4h = h^2 - 49 48h = h^2 - 49 h^2 - 48h - 49 = 0

Passo 6

Obtemos duas soluções:
h = 48 + 502 = 982 = 49 h = 48 - 502 = -22 = -1
Como a hipotenusa não pode ser negativa, descartamos $ h = -1 $.

Resposta

A hipotenusa desse triângulo mede 49 cm.

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