Sete corredores estão competindo em uma corrida e 3 deles receberão medalhas por chegar em primeiro, segundo, e terceiro lugares. Há quantas maneiras únicas de se arranjar 3 dos 7 corredores em primeiro, segundo, e terceiro lugares?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de combinatória! A gente tem 7 corredores competindo e quer descobrir de quantas jeitos diferentes 3 deles podem ficar nas primeiras posições da corrida (primeiro, segundo e terceiro lugares). Para isso, vamos precisar usar o conceito de permutação, que é quando a ordem importa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é permutação. Quando a gente quer arranjar um grupo de itens onde a ordem importa, usamos permutação. No caso, estamos arranjando 3 corredores nas três primeiras posições, então a ordem em que eles terminam é importante.
Passo 3
A fórmula para calcular permutações de n elementos tomando k de cada vez é:
Aqui, $ n! $ significa fatorial de n, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até n.
Passo 4
No nosso caso, temos 7 corredores (n = 7) e queremos arranjar 3 deles (k = 3). Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular $ 7! $ e $ 4! $:
Então:
Resposta
Há 210 maneiras únicas de arranjar 3 dos 7 corredores nos primeiros, segundo e terceiro lugares.