Sete corredores estão competindo em uma corrida e 3 deles receberão medalhas por chegar em primeiro, segundo, e terceiro lugares. Há quantas maneiras únicas de se arranjar 3 dos 7 corredores em primeiro, segundo, e terceiro lugares?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de combinatória! A gente tem 7 corredores competindo e quer descobrir de quantas jeitos diferentes 3 deles podem ficar nas primeiras posições da corrida (primeiro, segundo e terceiro lugares). Para isso, vamos precisar usar o conceito de permutação, que é quando a ordem importa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é permutação. Quando a gente quer arranjar um grupo de itens onde a ordem importa, usamos permutação. No caso, estamos arranjando 3 corredores nas três primeiras posições, então a ordem em que eles terminam é importante.

Passo 3

A fórmula para calcular permutações de n elementos tomando k de cada vez é:
P(n, k) = n!(n - k)!
Aqui, $ n! $ significa fatorial de n, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até n.

Passo 4

No nosso caso, temos 7 corredores (n = 7) e queremos arranjar 3 deles (k = 3). Substituindo na fórmula:
P(7, 3) = 7!(7 - 3)! = 7!4!

Passo 5

Vamos calcular $ 7! $ e $ 4! $:
7!
Então:
4!

Resposta

210 maneiras únicas de arranjar 3 dos 7 corredores nos primeiros, segundo e terceiro lugares.

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