Determine a equação da elipse de focos F1(0,-3) e F2(0,3) sabendo que o comprimento do eixo menor é 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado nos dá os focos da elipse em $ F_1(0, -3) $ e $ F_2(0, 3) $, e também informa que o comprimento do eixo menor é 2. Para resolver, vamos usar as propriedades das elipses e algumas fórmulas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Como os focos são $ F_1(0, -3) $ e $ F_2(0, 3) $, o centro fica exatamente no meio deles. Então, o centro é $ (0, 0) $.

Passo 3

A distância entre os dois focos é $ 2c $, onde $ c $ é a distância do centro a cada foco. Aqui, como os focos estão em $ (0, -3) $ e $ (0, 3) $, temos:
2c
Então, $ c = 3 $.

Passo 4

Sabemos que o comprimento do eixo menor é 2, o que significa que o semi-eixo menor $ b $ é:
b
Agora, precisamos encontrar o semi-eixo maior $ a $. Usamos a relação das elipses:
2b = 2 implies b = 1
Substituindo os valores:
a

Passo 5

Com $ a $ e $ b $ encontrados, podemos escrever a equação padrão da elipse com centro na origem e eixo maior vertical:
a
Substituindo os valores:
b

Resposta

A equação da elipse é:
y^210 + x^21 = 1

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