Determine a equação da elipse de focos F1(0,-3) e F2(0,3) sabendo que o comprimento do eixo menor é 2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado nos dá os focos da elipse em $ F_1(0, -3) $ e $ F_2(0, 3) $, e também informa que o comprimento do eixo menor é 2. Para resolver, vamos usar as propriedades das elipses e algumas fórmulas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Como os focos são $ F_1(0, -3) $ e $ F_2(0, 3) $, o centro fica exatamente no meio deles. Então, o centro é $ (0, 0) $.
Passo 3
A distância entre os dois focos é $ 2c $, onde $ c $ é a distância do centro a cada foco. Aqui, como os focos estão em $ (0, -3) $ e $ (0, 3) $, temos:
Então, $ c = 3 $.
Passo 4
Sabemos que o comprimento do eixo menor é 2, o que significa que o semi-eixo menor $ b $ é:
Agora, precisamos encontrar o semi-eixo maior $ a $. Usamos a relação das elipses:
Substituindo os valores:
Passo 5
Com $ a $ e $ b $ encontrados, podemos escrever a equação padrão da elipse com centro na origem e eixo maior vertical:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da elipse é: