Uma turma de 10 alunos é separada dos demais para ser testada. Aplica-se uma prova de matemática e as notas são:
cccccccccc 4,5 & 5,0 & 5,5 & 6,0 & 3,5 & 4,0 & 5,0 & 6,5 & 7,0 & 8,0
Um novo processo de ensino de matemática é introduzido, e a turma é ensinada por esse novo método. No final, aplica-se uma prova de mesmo nível de dificuldade, para os mesmo alunos, e as notas obtidas pelos alunos, na ordem das primeiras, são respectivamente:
cccccccccc 5,0 & 5,0 & 6,0 & 7,0 & 3,0 & 4,5 & 4,0 & 7,0 & 7,5 & 9,0
Há razões para crer que o novo processo aumentou o nível de aprendizado da turma em matemática, a 5%?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma turma de 10 alunos que fez uma prova de matemática antes e depois de aplicar um novo método de ensino. As notas antes eram:
4,5, 5,0, 5,5, 6,0, 3,5, 4,0, 5,0, 6,5, 7,0, 8,0
E depois ficaram:
5,0, 5,0, 6,0, 7,0, 3,0, 4,5, 4,0, 7,0, 7,5, 9,0
Queremos saber se esse novo método realmente aumentou o aprendizado da turma de matemática, com uma confiança de 5%.
Para resolver isso, vamos usar estatística inferencial, mais especificamente o Teste t para amostras pareadas. Esse teste ajuda a comparar duas médias de um mesmo grupo em situações diferentes (antes e depois, por exemplo) para ver se houve uma diferença significativa.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. Temos as notas antes e depois para os 10 alunos:
Aluno Antes Depois Diferença (Depois - Antes)
1 4,5 5,0 0,5
2 5,0 5,0 0,0
3 5,5 6,0 0,5
4 6,0 7,0 1,0
5 3,5 3,0 -0,5
6 4,0 4,5 0,5
7 5,0 4,0 -1,0
8 6,5 7,0 0,5
9 7,0 7,5 0,5
10 8,0 9,0 1,0
Essas diferenças vão nos ajudar a ver se, em média, as notas melhoraram depois do novo método.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média das diferenças. Primeiro, somamos todas as diferenças:
0,5 + 0,0 + 0,5 + 1,0 - 0,5 + 0,5 - 1,0 + 0,5 + 0,5 + 1,0 = 3,0
Então, a média das diferenças é:
bard = 3,010 = 0,3
Isso quer dizer que, em média, as notas aumentaram em 0,3 pontos após o novo método.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o desvio padrão das diferenças para entender como as diferenças variam em relação à média. Vamos calcular a variância primeiro.
As diferenças são: 0,5; 0,0; 0,5; 1,0; -0,5; 0,5; -1,0; 0,5; 0,5; 1,0.
A média das diferenças é 0,3. Subtraímos a média de cada diferença e elevamos ao quadrado:
(0,5 - 0,3)^2 &= 0,04 (0,0 - 0,3)^2 &= 0,09 (0,5 - 0,3)^2 &= 0,04 (1,0 - 0,3)^2 &= 0,49 (-0,5 - 0,3)^2 &= 0,64 (0,5 - 0,3)^2 &= 0,04 (-1,0 - 0,3)^2 &= 1,69 (0,5 - 0,3)^2 &= 0,04 (0,5 - 0,3)^2 &= 0,04 (1,0 - 0,3)^2 &= 0,49
Somando todas essas variâncias:
0,04 + 0,09 + 0,04 + 0,49 + 0,64 + 0,04 + 1,69 + 0,04 + 0,04 + 0,49 = 3,60
A variância é:
sd^2 = 3,6010 - 1 = 0,4
Então, o desvio padrão das diferenças é:
sd = raiz0,4 approx 0,6325

Passo 5

Com a média das diferenças ( bard = 0,3) e o desvio padrão das diferenças ( sd approx 0,6325), podemos calcular o valor t para o teste.
A fórmula do teste t para amostras pareadas é:
t = bardsd / raizn
Onde:
  • bard é a média das diferenças
  • sd é o desvio padrão das diferenças
  • n é o número de pares (neste caso, 10)
Substituindo:
t = 0,30,6325 / raiz10 approx 0,30,6325 / 3,1623 approx 0,30,2 = 1,5

Passo 6

Agora, precisamos verificar se esse valor t é significativo. Para isso, consultamos uma tabela de distribuição t com n - 1 = 9 graus de liberdade e um nível de significância de 5% (ou seja, alpha = 0,05).
Para um teste bilateral (como estamos verificando se houve aumento ou diminuição), dividimos o alpha por 2: 0,025 de cada lado.
O valor crítico de t para 9 graus de liberdade e alpha = 0,05 é aproximadamente 2,262.

Passo 7

Comparamos o nosso valor t calculado (1,5) com o valor crítico (2,262):
  • Se |t| > 2,262, rejeitamos a hipótese nula (que não houve mudança).
  • Se |t| <= 2,262, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
1,5 < 2,262

Resposta

Como o valor t calculado (1,5) é menor que o valor crítico (2,262), não temos evidências suficientes para afirmar que o novo método aumentou o nível de aprendizado da turma em matemática com 5% de confiança.

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