Uma turma de 10 alunos é separada dos demais para ser testada. Aplica-se uma prova de matemática e as notas são:
Um novo processo de ensino de matemática é introduzido, e a turma é ensinada por esse novo método. No final, aplica-se uma prova de mesmo nível de dificuldade, para os mesmo alunos, e as notas obtidas pelos alunos, na ordem das primeiras, são respectivamente:
Há razões para crer que o novo processo aumentou o nível de aprendizado da turma em matemática, a 5%?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma turma de 10 alunos que fez uma prova de matemática antes e depois de aplicar um novo método de ensino. As notas antes eram:
E depois ficaram:
Queremos saber se esse novo método realmente aumentou o aprendizado da turma de matemática, com uma confiança de 5%.
Para resolver isso, vamos usar estatística inferencial, mais especificamente o Teste t para amostras pareadas. Esse teste ajuda a comparar duas médias de um mesmo grupo em situações diferentes (antes e depois, por exemplo) para ver se houve uma diferença significativa.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados. Temos as notas antes e depois para os 10 alunos:
Aluno | Antes | Depois | Diferença (Depois - Antes) |
---|---|---|---|
1 | 4,5 | 5,0 | 0,5 |
2 | 5,0 | 5,0 | 0,0 |
3 | 5,5 | 6,0 | 0,5 |
4 | 6,0 | 7,0 | 1,0 |
5 | 3,5 | 3,0 | -0,5 |
6 | 4,0 | 4,5 | 0,5 |
7 | 5,0 | 4,0 | -1,0 |
8 | 6,5 | 7,0 | 0,5 |
9 | 7,0 | 7,5 | 0,5 |
10 | 8,0 | 9,0 | 1,0 |
Essas diferenças vão nos ajudar a ver se, em média, as notas melhoraram depois do novo método.
Passo 3
Agora, vamos calcular a média das diferenças. Primeiro, somamos todas as diferenças:
Então, a média das diferenças é:
Isso quer dizer que, em média, as notas aumentaram em 0,3 pontos após o novo método.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o desvio padrão das diferenças para entender como as diferenças variam em relação à média. Vamos calcular a variância primeiro.
As diferenças são: 0,5; 0,0; 0,5; 1,0; -0,5; 0,5; -1,0; 0,5; 0,5; 1,0.
A média das diferenças é 0,3. Subtraímos a média de cada diferença e elevamos ao quadrado:
Somando todas essas variâncias:
A variância é:
Então, o desvio padrão das diferenças é:
Passo 5
Com a média das diferenças (
) e o desvio padrão das diferenças (
), podemos calcular o valor t para o teste.
A fórmula do teste t para amostras pareadas é:
Onde:
-
é a média das diferenças -
é o desvio padrão das diferenças -
é o número de pares (neste caso, 10)
Substituindo:
Passo 6
Agora, precisamos verificar se esse valor t é significativo. Para isso, consultamos uma tabela de distribuição t com
graus de liberdade e um nível de significância de 5% (ou seja,
).
Para um teste bilateral (como estamos verificando se houve aumento ou diminuição), dividimos o
por 2:
de cada lado.
O valor crítico de t para 9 graus de liberdade e
é aproximadamente 2,262.
Passo 7
Comparamos o nosso valor t calculado (1,5) com o valor crítico (2,262):
- Se
, rejeitamos a hipótese nula (que não houve mudança). - Se
, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
Resposta
Como o valor t calculado (1,5) é menor que o valor crítico (2,262), não temos evidências suficientes para afirmar que o novo método aumentou o nível de aprendizado da turma em matemática com 5% de confiança.