Para investigar a lealdade de consumidores a um determinado produto, sortou-se uma amostra de 200 homens e 200 mulheres. Foram classificados como tendo alto grau de fidelidade 100 homens e 120 mulheres. Os dados trazem evidências de diferença de grau de fidelidade entre os sexos, ao nível de 1 % de significância?
(a) Os dados trazem evidências de diferença de grau de fidelidade entre os sexos, ao nível de 1 % de significância?
(b) Determine o intervalo de confiança para a diferença entre as proporções com coeficiente de confiança de 95%

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. A gente quer investigar se homens e mulheres têm a mesma lealdade num produto específico. Pra isso, foram sorteados 200 homens e 200 mulheres. Desses, 100 homens e 120 mulheres mostraram alto grau de fidelidade. A gente tem que ver duas coisas:
(a) Se essa diferença na fidelidade entre os sexos é significativa, ou seja, se não é só uma coincidência, usando um nível de confiança de 1%.
(b) Determinar o intervalo de confiança para a diferença entre as proporções de fidelidade dos dois grupos, com 95% de confiança.
Vamos lá resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos saber se a diferença de fidelidade entre homens e mulheres é estatisticamente significativa ao nível de 1%.

Passo 3

Vamos usar o teste de hipóteses para a diferença entre duas proporções. Esse teste nos ajuda a verificar se a diferença observada entre duas proporções é real ou se pode ter acontecido por acaso.

Passo 4

Primeiro, definimos nossas hipóteses:
  • Hipótese nula (H₀): Não há diferença na proporção de fidelidade entre homens e mulheres. Matemáticamente, $ p_1 - p_2 = 0 $.
  • Hipótese alternativa (H₁): Existe diferença na proporção de fidelidade entre homens e mulheres. $ p_1 - p_2 \neq 0 $.

Passo 5

Agora, vamos calcular as proporções observadas:
  • Proporção de homens com alta fidelidade: $ \hat{p}_1 = \frac{100}{200} = 0.5 $ (50%)
  • Proporção de mulheres com alta fidelidade: $ \hat{p}_2 = \frac{120}{200} = 0.6 $ (60%)

Passo 6

Calculamos a proporção combinada sob a hipótese nula, que assume que as proporções são iguais:
$ \hat{p} = \frac{100 + 120}{200 + 200} = \frac{220}{400} = 0.55 $

Passo 7

Agora, encontramos o erro padrão da diferença entre as proporções:
$ SE = \sqrt{\hat{p} (1 - \hat{p}) \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)} $
Substituindo:
$ SE = \sqrt{0.55 \times 0.45 \left( \frac{1}{200} + \frac{1}{200} \right)} = \sqrt{0.2475 \times 0.01} = \sqrt{0.002475} \approx 0.04975 $

Passo 8

Calculamos o valor z para o teste:
$ z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - 0}{SE} = \frac{0.5 - 0.6}{0.04975} \approx \frac{-0.1}{0.04975} \approx -2.01 $

Passo 9

Agora, vamos ver o valor crítico z para um nível de significância de 1% (0.01). Como é um teste bilateral, dividimos o alfa por 2:
$ \alpha/2 = 0.005 $
Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente ±2.576.

Passo 10

Comparamos o valor z calculado com o valor crítico:
  • Nosso z ≈ -2.01
  • Valor crítico = ±2.576
Como -2.01 está entre -2.576 e 2.576, NÃO rejeitamos a hipótese nula.

Passo 11

Agora, para a parte (b), queremos o intervalo de confiança para a diferença entre as proporções com 95% de confiança.

Passo 12

Usamos a fórmula do intervalo de confiança para a diferença entre duas proporções:
$ (\hat{p}_1 - \hat{p}2) \pm Z{\alpha/2} \times SE $
Para 95% de confiança, $ Z_{\alpha/2} $ é aproximadamente 1.96.

Passo 13

Calculamos a diferença das proporções:
$ 0.5 - 0.6 = -0.1 $

Passo 14

Calculamos o intervalo:
$ -0.1 \pm 1.96 \times 0.04975 $
$ -0.1 \pm 0.0975 $
Então, o intervalo fica entre:
$ -0.1 - 0.0975 = -0.1975 $
e
$ -0.1 + 0.0975 = -0.0025 $

Resposta

(a) Não, os dados não trazem evidências estatísticas de diferença no grau de fidelidade entre homens e mulheres ao nível de 1% de significância.
(b) O intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as proporções de fidelidade é aproximadamente -0.1975 a -0.0025.

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