Para investigar a lealdade de consumidores a um determinado produto, sortou-se uma amostra de 200 homens e 200 mulheres. Foram classificados como tendo alto grau de fidelidade 100 homens e 120 mulheres. Os dados trazem evidências de diferença de grau de fidelidade entre os sexos, ao nível de
de significância?
(a) Os dados trazem evidências de diferença de grau de fidelidade entre os sexos, ao nível de
de significância?
(b) Determine o intervalo de confiança para a diferença entre as proporções com coeficiente de confiança de 95%
(a) Os dados trazem evidências de diferença de grau de fidelidade entre os sexos, ao nível de
(b) Determine o intervalo de confiança para a diferença entre as proporções com coeficiente de confiança de 95%
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. A gente quer investigar se homens e mulheres têm a mesma lealdade num produto específico. Pra isso, foram sorteados 200 homens e 200 mulheres. Desses, 100 homens e 120 mulheres mostraram alto grau de fidelidade. A gente tem que ver duas coisas:
(a) Se essa diferença na fidelidade entre os sexos é significativa, ou seja, se não é só uma coincidência, usando um nível de confiança de 1%.
(b) Determinar o intervalo de confiança para a diferença entre as proporções de fidelidade dos dois grupos, com 95% de confiança.
Vamos lá resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos saber se a diferença de fidelidade entre homens e mulheres é estatisticamente significativa ao nível de 1%.
Passo 3
Vamos usar o teste de hipóteses para a diferença entre duas proporções. Esse teste nos ajuda a verificar se a diferença observada entre duas proporções é real ou se pode ter acontecido por acaso.
Passo 4
Primeiro, definimos nossas hipóteses:
-
Hipótese nula (H₀): Não há diferença na proporção de fidelidade entre homens e mulheres. Matemáticamente, $ p_1 - p_2 = 0 $.
-
Hipótese alternativa (H₁): Existe diferença na proporção de fidelidade entre homens e mulheres. $ p_1 - p_2 \neq 0 $.
Passo 5
Agora, vamos calcular as proporções observadas:
-
Proporção de homens com alta fidelidade: $ \hat{p}_1 = \frac{100}{200} = 0.5 $ (50%)
-
Proporção de mulheres com alta fidelidade: $ \hat{p}_2 = \frac{120}{200} = 0.6 $ (60%)
Passo 6
Calculamos a proporção combinada sob a hipótese nula, que assume que as proporções são iguais:
$ \hat{p} = \frac{100 + 120}{200 + 200} = \frac{220}{400} = 0.55 $
Passo 7
Agora, encontramos o erro padrão da diferença entre as proporções:
$ SE = \sqrt{\hat{p} (1 - \hat{p}) \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)} $
Substituindo:
$ SE = \sqrt{0.55 \times 0.45 \left( \frac{1}{200} + \frac{1}{200} \right)} = \sqrt{0.2475 \times 0.01} = \sqrt{0.002475} \approx 0.04975 $
Passo 8
Calculamos o valor z para o teste:
$ z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - 0}{SE} = \frac{0.5 - 0.6}{0.04975} \approx \frac{-0.1}{0.04975} \approx -2.01 $
Passo 9
Agora, vamos ver o valor crítico z para um nível de significância de 1% (0.01). Como é um teste bilateral, dividimos o alfa por 2:
$ \alpha/2 = 0.005 $
Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente ±2.576.
Passo 10
Comparamos o valor z calculado com o valor crítico:
-
Nosso z ≈ -2.01
-
Valor crítico = ±2.576
Como -2.01 está entre -2.576 e 2.576, NÃO rejeitamos a hipótese nula.
Passo 11
Agora, para a parte (b), queremos o intervalo de confiança para a diferença entre as proporções com 95% de confiança.
Passo 12
Usamos a fórmula do intervalo de confiança para a diferença entre duas proporções:
$ (\hat{p}_1 - \hat{p}2) \pm Z{\alpha/2} \times SE $
Para 95% de confiança, $ Z_{\alpha/2} $ é aproximadamente 1.96.
Passo 13
Calculamos a diferença das proporções:
$ 0.5 - 0.6 = -0.1 $
Passo 14
Calculamos o intervalo:
$ -0.1 \pm 1.96 \times 0.04975 $
$ -0.1 \pm 0.0975 $
Então, o intervalo fica entre:
$ -0.1 - 0.0975 = -0.1975 $
e
$ -0.1 + 0.0975 = -0.0025 $
Resposta
(a) Não, os dados não trazem evidências estatísticas de diferença no grau de fidelidade entre homens e mulheres ao nível de 1% de significância.
(b) O intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as proporções de fidelidade é aproximadamente
a
.