A variabilidade no levantamento de impurezas de uma certa substância depende da duração do processo usado. Usando dois processos, um químico melhorou o segundo, esperando com isso reduzir essa variabilidade. Levantaram-se duas amostras, uma utilizando o primeiro processo e outra utilizando o segundo, de tamanhos 26 e 13, respectivamente, obtendo-se
e
. Ao nível de
, verifique se a variância do primeiro processo é maior que do segundo.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre variabilidade no levantamento de impurezas de uma substância, que depende da duração do processo utilizado. Temos dois processos: o primeiro e o segundo, sendo que o químico melhorou o segundo processo na esperança de reduzir essa variabilidade. Foram coletadas duas amostras: uma com 26 elementos usando o primeiro processo e outra com 13 elementos usando o segundo processo. As variâncias amostrais são $ s_{1}^{2} = 1,04 $ e $ s_{2}^{2} = 0,51 $. A gente precisa verificar, ao nível de 5%, se a variância do primeiro processo é maior que a do segundo. Para isso, vamos usar o teste F de comparação de duas variâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula ($ H_0 $) é que as variâncias dos dois processos são iguais: $ H_0: \sigma_1^{2} = \sigma_2^{2}
H_1 $) é que a variância do primeiro processo é maior que a do segundo: $ H_1: \sigma_1^{2} > \sigma_2^{2} $.
Passo 3
O próximo passo é calcular o estatístico F, que é a razão das duas variâncias amostrais. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o valor crítico de F para o nosso teste. Como estamos trabalhando com um nível de significância de 5%, e nosso teste é unilateral (queremos saber se $ \sigma_1^{2} > \sigma_2^{2} $), vamos consultar a tabela F com os graus de liberdade apropriados. Para o numerador, os graus de liberdade são $ n_1 - 1 = 26 - 1 = 25 $ e para o denominador são $ n_2 - 1 = 13 - 1 = 12 $.
Passo 5
Consultando a tabela F para $ \alpha = 0,05 $, $ df_1 = 25 $ e $ df_2 = 12 $, encontramos que o valor crítico de F é aproximadamente 2,77.
Passo 6
Comparamos o nosso estatístico F calculado com o valor crítico. Temos:
Como $ F_{calculado} $ é menor que $ F_{crítico} $, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base no teste F, não há evidências suficientes para concluir que a variância do primeiro processo é maior que a do segundo, ao nível de 5%.