Em uma turma de 50 alunos, 26 estão estudando Arquitetura Naval, 19 Inglês e 17 Cálculo. Sabe-se que dos alunos que estão estudando Arquitetura Naval, 6 estudam inglês e 7 estudam Cálculo; e dos alunos que estão estudando inglês, 9 estudam Cálculo. Além disso, há 6 alunos que não estão estudando essas 3 disciplinas. Quantos desses alunos que estão estudando Arquitetura Naval também estão estudando Inglês e Cálculo ao mesmo tempo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma turma de 50 alunos que estão estudando três matérias: Arquitetura Naval, Inglês e Cálculo. Queremos descobrir quantos alunos estão estudando as três matérias ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, basicamente trabalhando com sobreposições entre os grupos de alunos que estudam cada matéria.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os números que a gente tem:
  • Total de alunos: 50
  • Estudam Arquitetura Naval (AN): 26
  • Estudam Inglês (I): 19
  • Estudam Cálculo ©: 17
  • Dos que estudam AN, 6 também estudam Inglês
  • Dos que estudam AN, 7 também estudam Cálculo
  • Dos que estudam Inglês, 9 também estudam Cálculo
  • Existem 6 alunos que não estudam nenhuma dessas três matérias

Passo 3

Vamos representar essas informações em um diagrama de Venn para facilitar visualização. Imaginando três círculos que se sobrepõem, cada um representando uma matéria, e as interseções mostram os alunos que estudam duas ou três matérias simultaneamente.

Passo 4

Sabemos que 6 alunos estudam AN e Inglês. Vamos chamar a quantidade de alunos que estudam as três matérias de $ x $. Então, o número de alunos que estudam apenas AN e Inglês será $ 6 - x $.

Passo 5

Da mesma forma, 7 alunos estudam AN e Cálculo. Então, os que estudam apenas AN e Cálculo serão $ 7 - x $.

Passo 6

Sabemos também que 9 alunos estudam Inglês e Cálculo. Portanto, os que estudam apenas Inglês e Cálculo serão $ 9 - x $.

Passo 7

Agora, vamos calcular o número de alunos que estudam apenas uma matéria:
  • Apenas AN: Total de AN menos os que estudam AN e I, AN e C, e os que estudam as três:
    $ 26 - 6 - 7 + x = 13 + x $
  • Apenas Inglês: Total de Inglês menos os que estudam I e AN, I e C, e as três:
    $ 19 - 6 - 9 + x = 4 + x $
  • Apenas Cálculo: Total de Cálculo menos os que estudam C e AN, C e I, e as três:
    $ 17 - 7 - 9 + x = 1 + x $

Passo 8

Sabemos que há 6 alunos que não estudam nenhuma das três matérias. Somando todos os grupos:
  • Apenas AN: $ 13 + x $
  • Apenas Inglês: $ 4 + x $
  • Apenas Cálculo: $ 1 + x $
  • AN e Inglês: $ 6 - x $
  • AN e Cálculo: $ 7 - x $
  • Inglês e Cálculo: $ 9 - x $
  • Nenhuma matéria: 6
A soma de todos esses grupos deve ser igual ao total de alunos, que é 50:
13 + x

Passo 9

Vamos simplificar a equação:
13 + x + 4 + x + 1 + x + 6 - x + 7 - x + 9 - x + 6 = 50
(13 + 4 + 1 + 6 + 7 + 9 + 6) + (x + x + x - x - x - x) = 50
46 + ( - x ) = 50

Passo 10

Resolvendo para $ x $:
x
46 - x = 50
-x = 50 - 46
-x = 4

Passo 11

Hmm, chegamos a $ x = -4 $, mas um número negativo não faz sentido nesse contexto. Isso significa que houve um erro na nossa abordagem. Vamos revisar os cálculos.

Passo 12

Reavaliando o Passo 7, a correção é:
  • Apenas AN: $ 26 - (6 + 7 - x) = 26 - 13 + x = 13 + x $
  • Apenas Inglês: $ 19 - (6 + 9 - x) = 19 - 15 + x = 4 + x $
  • Apenas Cálculo: $ 17 - (7 + 9 - x) = 17 - 16 + x = 1 + x $
Esses estão corretos, então o erro deve estar na soma.

Passo 13

Vamos refazer a soma:
(13 + x) + (4 + x) + (1 + x) + (6 - x) + (7 - x) + (9 - x) + 6 = 50
13 + 4 + 1 + 6 + 7 + 9 + 6 + x + x + x - x - x - x = 50
46 + 0 = 50
46 = 50
Ainda inconsistente, o que indica que nossos dados ou interpretação estão incorretos.

Passo 14

Percebi o erro! Quando calculamos apenas AN, Inglês e Cálculo, devemos considerar que $ x $ é a interseção das três, então a soma total deve incluir:
x
Vamos refazer a equação:
Apenas AN + Apenas I + Apenas C + (AN cap I - x) + (AN cap C - x) + (I cap C - x) + x + Nenhuma = 50
(13 + x) + (4 + x) + (1 + x) + (6 - x) + (7 - x) + (9 - x) + 6 = 50
13 + 4 + 1 + 6 + 7 + 9 + 6 + x + x + x - x - x - x = 50
46 + 0 = 50
Ainda não resolve, então precisamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 15

Vamos usar a fórmula da inclusão-exclusão para três conjuntos:
|AN cup I cup C| = |AN| + |I| + |C| - |AN cap I| - |AN cap C| - |I cap C| + |AN cap I cap C|
Sabemos que 6 alunos não estudam nenhuma das três, então:
|AN cup I cup C| = 50 - 6 = 44
Substituindo os valores:
44 = 26 + 19 + 17 - 6 - 7 - 9 + x
44 = 62 - 22 + x
44 = 40 + x
x = 44 - 40
x = 4

Resposta

Portanto, 4 alunos que estão estudando Arquitetura Naval também estão estudando Inglês e Cálculo ao mesmo tempo.

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