Considere o conjunto dos primeiros 17 inteiros positivos, (1, 2, 3,…, 17). Dois números desse conjunto são escolhidos de forma que o produto desses dois números seja igual à soma dos 15 números restantes. Qual é o valor desse produto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá os primeiros 17 números inteiros positivos:
. Precisamos escolher dois números desse conjunto de forma que o produto deles seja igual à soma dos outros 15 números restantes. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e algumas propriedades de somas de sequências numéricas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual é a soma total dos 17 números. A soma dos primeiros
números inteiros pode ser calculada pela fórmula:
No nosso caso,
:
Então, a soma de todos os números de 1 a 17 é 153.
Passo 3
Agora, vamos chamar os dois números que escolhemos de
e
. O enunciado diz que o produto desses dois números (
) é igual à soma dos 15 números restantes. A soma dos 15 números restantes é a soma total menos os dois números que escolhemos:
De acordo com a questão, temos:
Passo 4
Vamos reorganizar essa equação para facilitar a resolução:
Podemos adicionar 1 aos dois lados da equação para fatorar melhor:
Agora, isso pode ser reescrito como:
Nossa tarefa agora é encontrar dois números
e
cujo produto seja 154.
Passo 5
Vamos fatorar o número 154 para encontrar possíveis pares de fatores:
Agora, precisamos encontrar quais desses pares resultam em valores de
e
que estejam entre 1 e 17 (já que escolhemos dois números desse conjunto).
Passo 6
Analisando os pares:
-
: Se , então ; se , então . Mas 76 está fora do nosso conjunto. -
: Similarmente, está fora. -
: Aqui, então ; e então . Ambos estão dentro do nosso conjunto!
Passo 7
Então, os dois números que satisfazem a condição são 10 e 13. Vamos verificar:
A soma dos outros 15 números:
Está certinho! O produto é igual à soma dos restantes.
Resposta
O valor do produto é
.