Considere o conjunto dos primeiros 17 inteiros positivos, (1, 2, 3,…, 17). Dois números desse conjunto são escolhidos de forma que o produto desses dois números seja igual à soma dos 15 números restantes. Qual é o valor desse produto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá os primeiros 17 números inteiros positivos: 1, 2, 3, dots, 17. Precisamos escolher dois números desse conjunto de forma que o produto deles seja igual à soma dos outros 15 números restantes. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e algumas propriedades de somas de sequências numéricas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é a soma total dos 17 números. A soma dos primeiros n números inteiros pode ser calculada pela fórmula:
Stotal = n(n + 1)2
No nosso caso, n = 17:
Stotal = 17 times 182 = 153
Então, a soma de todos os números de 1 a 17 é 153.

Passo 3

Agora, vamos chamar os dois números que escolhemos de x e y. O enunciado diz que o produto desses dois números ( x times y) é igual à soma dos 15 números restantes. A soma dos 15 números restantes é a soma total menos os dois números que escolhemos:
Srestante = Stotal - (x + y) = 153 - (x + y)
De acordo com a questão, temos:
x times y = 153 - (x + y)

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para facilitar a resolução:
x times y + x + y = 153
Podemos adicionar 1 aos dois lados da equação para fatorar melhor:
x times y + x + y + 1 = 154
Agora, isso pode ser reescrito como:
(x + 1)(y + 1) = 154
Nossa tarefa agora é encontrar dois números x + 1 e y + 1 cujo produto seja 154.

Passo 5

Vamos fatorar o número 154 para encontrar possíveis pares de fatores:
154 = 2 times 77 = 7 times 22 = 11 times 14
Agora, precisamos encontrar quais desses pares resultam em valores de x e y que estejam entre 1 e 17 (já que escolhemos dois números desse conjunto).

Passo 6

Analisando os pares:
  • 2 times 77: Se x + 1 = 2, então x = 1; se y + 1 = 77, então y = 76. Mas 76 está fora do nosso conjunto.
  • 7 times 22: Similarmente, y = 21 está fora.
  • 11 times 14: Aqui, x + 1 = 11 então x = 10; e y + 1 = 14 então y = 13. Ambos estão dentro do nosso conjunto!

Passo 7

Então, os dois números que satisfazem a condição são 10 e 13. Vamos verificar:
10 times 13 = 130
A soma dos outros 15 números:
153 - (10 + 13) = 153 - 23 = 130
Está certinho! O produto é igual à soma dos restantes.

Resposta

O valor do produto é 130.

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