Under what conditions can the dot product of two vectors be negative?
Passo 1
Vamos entender a pergunta: “Em que condições o produto escalar de dois vetores pode ser negativo?”. Estamos trabalhando com álgebra vetorial, especificamente com o produto escalar (também conhecido como produto interno) de vetores. Para resolver isso, precisamos saber como o produto escalar está relacionado ao ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar de dois vetores A e B é dado pela fórmula:
Aqui,
e
são os módulos (comprimentos) dos vetores, e
é o ângulo entre eles.
Passo 3
Agora, queremos saber quando o produto escalar é negativo. Olhando para a fórmula, o sinal do produto escalar depende do valor de
. Sabemos que:
-
é positivo quando está entre 0° e 90°. -
é zero quando é 90°. -
é negativo quando está entre 90° e 270°. -
volta a ser positivo quando está entre 270° e 360°.
Passo 4
Como o produto escalar é o resultado do módulo dos vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles, se
for negativo, o produto escalar também será negativo (já que os módulos são sempre positivos).
Passo 5
Portanto, o produto escalar de dois vetores será negativo quando o ângulo entre eles for maior que 90° e menor que 270°. Isso significa que os vetores estão apontando mais em direções opostas do que na mesma direção.
Resposta
O produto escalar de dois vetores é negativo quando o ângulo entre eles está entre 90° e 270°, ou seja, quando os vetores apontam mais para direções opostas do que na mesma direção.