Under what conditions can the dot product of two vectors be negative?

Passo 1

Vamos entender a pergunta: “Em que condições o produto escalar de dois vetores pode ser negativo?”. Estamos trabalhando com álgebra vetorial, especificamente com o produto escalar (também conhecido como produto interno) de vetores. Para resolver isso, precisamos saber como o produto escalar está relacionado ao ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar de dois vetores A e B é dado pela fórmula:
A cdot B = |A| times |B| times cos(theta)
Aqui, e são os módulos (comprimentos) dos vetores, e é o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, queremos saber quando o produto escalar é negativo. Olhando para a fórmula, o sinal do produto escalar depende do valor de . Sabemos que:
  • é positivo quando está entre 0° e 90°.
  • é zero quando é 90°.
  • é negativo quando está entre 90° e 270°.
  • volta a ser positivo quando está entre 270° e 360°.

Passo 4

Como o produto escalar é o resultado do módulo dos vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles, se for negativo, o produto escalar também será negativo (já que os módulos são sempre positivos).

Passo 5

Portanto, o produto escalar de dois vetores será negativo quando o ângulo entre eles for maior que 90° e menor que 270°. Isso significa que os vetores estão apontando mais em direções opostas do que na mesma direção.

Resposta

O produto escalar de dois vetores é negativo quando o ângulo entre eles está entre 90° e 270°, ou seja, quando os vetores apontam mais para direções opostas do que na mesma direção.

Exercícios relacionados