Une dose de penicilina é injetada em um animal. Nesse instante, sua concentração no sangue do animal é igual a 10 unidades/ml. Sabe-se que a concentração de penicilina no sangue cai continuamente e, a cada hora, reduz-se à metade. Assinale o gráfico que ilustra mais adequadamente, a redução da concentração, C, de penicilina no sangue desse animal, em função do tempo t.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a concentração de penicilina no sangue de um animal que começa com 10 unidades/ml e, a cada hora, essa concentração cai para a metade. Isso está relacionado ao conteúdo de funções exponenciais e decadimento exponencial. Para resolver, vamos precisar entender como uma quantidade diminui pela metade em intervalos de tempo fixos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
- Concentração inicial, $ C_0 = 10 $ unidades/ml
- A cada hora, a concentração reduz para metade, ou seja, a cada $ t = 1 $ hora, $ C $ se torna $ \frac{1}{2} $ do valor anterior.
Passo 3
Esse tipo de redução é um exemplo de decadimento exponencial, onde a quantidade diminui por uma fração fixa em intervalos de tempo uniformes. A fórmula geral para isso é:
Aqui, $ t $ é o tempo em horas.
Passo 4
Vamos aplicar os valores que temos na fórmula:
Isso significa que, após cada hora, a concentração de penicilina será metade da anterior.
Passo 5
Para visualizar, se calcularmos alguns valores:
- Em $ t = 0 $ horas: $ C(0) = 10 \times 1 = 10 $ unidades/ml
- Em $ t = 1 $ hora: $ C(1) = 10 \times \frac{1}{2} = 5 $ unidades/ml
- Em $ t = 2 $ horas: $ C(2) = 10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2,5 $ unidades/ml
- E assim por diante.
Resposta
A concentração de penicilina no sangue do animal está descrita pela função $ C(t) = 10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^t $, onde $ C $ é a concentração em unidades/ml e $ t $ é o tempo em horas.