A v.a. X é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 4. Sabe-se que a probabilidade . Determine k .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e desvio padrão . A gente precisa encontrar o valor de tal que a probabilidade . Para isso, vamos usar os conceitos da distribuição normal e da padronização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Ela é simétrica em torno da média e é descrita pela função:
Mas para facilitar os cálculos de probabilidades, a gente costuma padronizar a variável transformando-a em , que segue uma distribuição normal padrão com média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para padronização é:

Passo 3

Vamos aplicar essa padronização no nosso caso. Queremos a probabilidade de estar entre 10 e :
Então, precisamos encontrar o valor de tal que .

Passo 4

Sabemos que a distribuição normal padrão é simétrica, então a probabilidade total à direita de 0 até é 0,4938. Vamos consultar uma tabela de valores da distribuição normal padrão ou usar uma calculadora que forneça os valores de correspondentes a essa probabilidade acumulada.

Passo 5

Consultando a tabela ou usando uma calculadora, descobrimos que para , o valor de é aproximadamente 2,54.

Passo 6

Agora que temos o valor de , vamos voltar à nossa equação de padronização para encontrar :

Passo 7

Resolvendo para :

Resposta

O valor de é aproximadamente 20,16.

Exercícios relacionados

A tabela abaixo mostra a função distribuição de probabilidades da v.a. X. Determine a função densidade de probabilidade de X .
X 0 1 2 3 4
1
Uma urna contém 5 bolas azuis e 3 bolas verdes. Duas bolas são extraídas aleatoriamente, sem reposição. A v.a. X é o número de bolas azuis retiradas. Determine as funções densidade de probabilidade e distribuição de probabilidade de X .
A v.a. X tem uma função densidade de probabilidade dada por:
сс
Um dispositivo é constituído de três elementos independentes que podem falhar numa experiência com probabilidade de 0,1 . Determine a função densidade de probabilidade da v.a. X que representa o número de elementos que falham numa experiência.