A v.a. X é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 4. Sabe-se que a probabilidade P[10 <= X <= k]=0,4938. Determine k .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e desvio padrão . A gente precisa encontrar o valor de tal que a probabilidade . Para isso, vamos usar os conceitos da distribuição normal e da padronização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Ela é simétrica em torno da média e é descrita pela função:
f(x) = 1sigma raiz2pi e^ -(x - mu)^22sigma^2
Mas para facilitar os cálculos de probabilidades, a gente costuma padronizar a variável Z = X - musigma transformando-a em , que segue uma distribuição normal padrão com média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para padronização é:

Passo 3

Vamos aplicar essa padronização no nosso caso. Queremos a probabilidade de P[10 <= X <= k] = P[10 - 104 <= X - 104 <= k - 104] = P[0 <= Z <= k - 104] = 0,4938 estar entre 10 e :
Então, precisamos encontrar o valor de tal que .

Passo 4

Sabemos que a distribuição normal padrão é simétrica, então a probabilidade total à direita de 0 até é 0,4938. Vamos consultar uma tabela de valores da distribuição normal padrão ou usar uma calculadora que forneça os valores de correspondentes a essa probabilidade acumulada.

Passo 5

Consultando a tabela ou usando uma calculadora, descobrimos que para , o valor de é aproximadamente 2,54.

Passo 6

Agora que temos o valor de z = k - 104 Rightarrow 2,54 = k - 104 , vamos voltar à nossa equação de padronização para encontrar :

Passo 7

Resolvendo para k - 10 = 2,54 times 4 Rightarrow k - 10 = 10,16 Rightarrow k = 10 + 10,16 = 20,16 :

Resposta

O valor de é aproximadamente 20,16.

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