A v.a. X é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 4. Sabe-se que a probabilidade
. Determine k .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória
que segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão
. A gente precisa encontrar o valor de
tal que a probabilidade
. Para isso, vamos usar os conceitos da distribuição normal e da padronização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Ela é simétrica em torno da média e é descrita pela função:
Mas para facilitar os cálculos de probabilidades, a gente costuma padronizar a variável
transformando-a em
, que segue uma distribuição normal padrão com média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para padronização é:
Passo 3
Vamos aplicar essa padronização no nosso caso. Queremos a probabilidade de
estar entre 10 e
:
Então, precisamos encontrar o valor de
tal que
.
Passo 4
Sabemos que a distribuição normal padrão é simétrica, então a probabilidade total à direita de 0 até
é 0,4938. Vamos consultar uma tabela de valores da distribuição normal padrão ou usar uma calculadora que forneça os valores de
correspondentes a essa probabilidade acumulada.
Passo 5
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, descobrimos que para
, o valor de
é aproximadamente 2,54.
Passo 6
Agora que temos o valor de
, vamos voltar à nossa equação de padronização para encontrar
:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
é aproximadamente 20,16.