Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja : número de bolas verdes, calcular e e determinar . Dica: utilizar distribuição de Bernoulli.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. Retiramos uma bola dessa urna e queremos calcular o valor esperado , a variância e a probabilidade de tirar uma bola verde. Para resolver isso, vamos utilizar a distribuição de Bernoulli.

Passo 2

A distribuição de Bernoulli é usada para modelar experimentos que têm apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. Aqui, consideramos “sucesso” tirar uma bola verde e “fracasso” tirar uma bola branca. A variável aleatória representa o número de bolas verdes retiradas, que pode ser 1 (sucesso) ou 0 (fracasso).

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de sucesso, ou seja, tirar uma bola verde. Como há 20 bolas verdes em um total de 50 bolas, a probabilidade de tirar uma bola verde é:

Passo 4

A probabilidade de fracasso, ou seja, tirar uma bola branca, é complementária à probabilidade de sucesso:

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor esperado . Para uma distribuição de Bernoulli, o valor esperado é dado por:

Passo 6

Em seguida, calculamos a variância . Para a distribuição de Bernoulli, a variância é:
Como só pode ser 0 ou 1, temos . Portanto:

Resposta

O valor esperado é 0.4, a variância é 0.24 e a probabilidade de tirar uma bola verde é 0.4.

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