Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X : número de bolas verdes, calcular E(X) e VAR(X) e determinar P(X). Dica: utilizar distribuição de Bernoulli.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. Retiramos uma bola dessa urna e queremos calcular o valor esperado E(X), a variância VAR(X) e a probabilidade P(X) de tirar uma bola verde. Para resolver isso, vamos utilizar a distribuição de Bernoulli.

Passo 2

A distribuição de Bernoulli é usada para modelar experimentos que têm apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. Aqui, consideramos “sucesso” tirar uma bola verde e “fracasso” tirar uma bola branca. A variável aleatória X representa o número de bolas verdes retiradas, que pode ser 1 (sucesso) ou 0 (fracasso).

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de sucesso, ou seja, tirar uma bola verde. Como há 20 bolas verdes em um total de 50 bolas, a probabilidade de tirar uma bola verde é:
P(X=1) = 2050 = 0.4

Passo 4

A probabilidade de fracasso, ou seja, tirar uma bola branca, é complementária à probabilidade de sucesso:
P(X=0) = 1 - P(X=1) = 1 - 0.4 = 0.6

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor esperado E(X). Para uma distribuição de Bernoulli, o valor esperado é dado por:
E(X) = P(X=1) times 1 + P(X=0) times 0 = 0.4 times 1 + 0.6 times 0 = 0.4

Passo 6

Em seguida, calculamos a variância VAR(X). Para a distribuição de Bernoulli, a variância é:
VAR(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Como X só pode ser 0 ou 1, temos E(X^2) = E(X) = 0.4. Portanto:
VAR(X) = 0.4 - (0.4)^2 = 0.4 - 0.16 = 0.24

Resposta

O valor esperado E(X) é 0.4, a variância VAR(X) é 0.24 e a probabilidade de tirar uma bola verde P(X=1) é 0.4.

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