A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0,30 . Qual é a esperança de encontrar o sinal verde ao passar por este local cinco vezes? E qual a variância associada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a probabilidade de encontrar o sinal de trânsito aberto (ou seja, verde) numa esquina é de 0,30. Queremos descobrir, em média, quantas vezes isso acontece se passarmos por esse local cinco vezes. Além disso, também vamos calcular a variância dessa situação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade, mais especificamente de Variáveis Aleatórias Bernoulli, que lidam com eventos que têm dois possíveis resultados, como aberto ou fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “expectativa” ou “esperança”. A esperança matemática de uma variável aleatória é basicamente a média que esperamos obter após várias tentativas. No nosso caso, queremos saber a média de vezes que o sinal estará verde em cinco passagens.

Passo 3

Como cada passagem é uma tentativa independente com probabilidade de sucesso E = n times p , podemos modelar isso usando a distribuição Binomial. A esperança de uma variável binomial é dada por:
onde é o número de tentativas e é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 4

Aplicando os valores do problema:
E = 5 times 0,30 = 1,5
Então, em média, esperamos encontrar o sinal verde 1,5 vezes nas cinco passagens.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância. A variância Var = n times p times (1 - p) de uma variável binomial é dada por:
Isso nos dá uma ideia de quão dispersos os resultados estão em torno da média.

Passo 6

Substituindo os valores:
Var = 5 times 0,30 times (1 - 0,30) = 5 times 0,30 times 0,70 = 1,05
Portanto, a variância associada é 1,05.

Resposta

A esperança de encontrar o sinal verde nas cinco passagens é 1,5 vezes e a variância associada é 1,05.

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