Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina ser defeituoso é de 0,2 . Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual é o valor esperado para os itens defeituosos? E qual é a variância considerando tal situação? Use a distribuição binomial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a probabilidade de um item ser defeituoso em uma produção, e queremos descobrir duas coisas usando a distribuição binomial: o valor esperado de itens defeituosos e a variância dessa quantidade. Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição binomial e aplicar suas fórmulas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é a distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com apenas dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada item produzido pode ser defeituoso (sucesso) ou não defeituoso (fracasso).
Passo 3
Aqui, temos 10 itens selecionados, então o número de tentativas
é 10. A probabilidade de um item ser defeituoso é 0,2, que chamaremos de
. O número de itens defeituosos será a nossa variável aleatória
.
Passo 4
O valor esperado (ou média) de uma distribuição binomial é calculado pela fórmula:
Vamos aplicar os valores que temos:
Isso significa que, em média, esperamos que 2 itens sejam defeituosos.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância da distribuição binomial. A variância é uma medida de dispersão que nos diz quão distribuídos os dados estão ao redor da média. A fórmula da variância
na distribuição binomial é:
Substituindo os valores:
Resposta
O valor esperado para os itens defeituosos é 2 e a variância é 1,6.