Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina ser defeituoso é de 0,2 . Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual é o valor esperado para os itens defeituosos? E qual é a variância considerando tal situação? Use a distribuição binomial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a probabilidade de um item ser defeituoso em uma produção, e queremos descobrir duas coisas usando a distribuição binomial: o valor esperado de itens defeituosos e a variância dessa quantidade. Para isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição binomial e aplicar suas fórmulas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é a distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com apenas dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada item produzido pode ser defeituoso (sucesso) ou não defeituoso (fracasso).

Passo 3

Aqui, temos 10 itens selecionados, então o número de tentativas é 10. A probabilidade de um item ser defeituoso é 0,2, que chamaremos de . O número de itens defeituosos será a nossa variável aleatória .

Passo 4

O valor esperado (ou média) de uma distribuição binomial é calculado pela fórmula:
E(X) = n times p
Vamos aplicar os valores que temos:
E(X) = 10 times 0,2 = 2
Isso significa que, em média, esperamos que 2 itens sejam defeituosos.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância da distribuição binomial. A variância é uma medida de dispersão que nos diz quão distribuídos os dados estão ao redor da média. A fórmula da variância Var(X) = n times p times (1 - p) na distribuição binomial é:
Var(X) = 10 times 0,2 times (1 - 0,2) = 10 times 0,2 times 0,8 = 1,6
Substituindo os valores:

Resposta

O valor esperado para os itens defeituosos é 2 e a variância é 1,6.

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