Numa urna temos 20 bolas brancas e 10 pretas.
(a) Foram retiradas 7 bolas, com reposição. Qual modelo é adequado para o número de bolas pretas entre as bolas retiradas ? Calcule a probabilidade de observamos de 2 a 5 bolas pretas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma urna com 20 bolas brancas e 10 pretas, totalizando 30 bolas. Tiramos 7 bolas com reposição, ou seja, cada vez que tiramos uma bola, colocamos de volta antes de tirar a próxima. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade, especificamente o Modelo Binomial, já que temos um número fixo de tentativas (7), cada tentativa tem dois resultados possíveis (preta ou não preta) e as tentativas são independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a probabilidade de tirar uma bola preta em uma única tentativa. Como há 10 bolas pretas e 30 no total, a probabilidade $ p $ de tirar uma preta é:
p

Passo 3

Agora, como estamos usando reposição, cada retirada é independente. Isso significa que a probabilidade de tirar uma preta sempre será $ \frac{1}{3} $ em cada uma das 7 tentativas.

Passo 4

Como queremos saber o número de bolas pretas em 7 tentativas, e cada tentativa tem duas opções (preta ou não preta), o modelo adequado é a Distribuição Binomial. A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde:
- $ n = 7 $ é o número de tentativas,
- $ k $ é o número de sucessos (bolas pretas),
- $ p = \frac{1}{3} $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.

Passo 5

Queremos calcular a probabilidade de observar de 2 a 5 bolas pretas. Isso significa que vamos somar as probabilidades de tirar exatamente 2, 3, 4 e 5 bolas pretas:
P(2 <= X <= 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula binomial:
Para $ k = 2 $:
k = 2
Para $ k = 3 $:
P(X=2) = binom72 (13)^2 (23)^5
Para $ k = 4 $:
k = 3
Para $ k = 5 $:
P(X=3) = binom73 (13)^3 (23)^4

Passo 7

Agora, vamos calcular cada termo:
Calculando $ P(X=2) $:
P(X=2)
binom72 = 21
Calculando $ P(X=3) $:
P(X=2) = 21 times (13)^2 times (23)^5 approx 0,275
P(X=3)
Calculando $ P(X=4) $:
binom73 = 35
P(X=3) = 35 times (13)^3 times (23)^4 approx 0,311
Calculando $ P(X=5) $:
P(X=4)
binom74 = 35

Resposta

Somando todas as probabilidades:
P(2 <= X <= 5) approx 0,275 + 0,311 + 0,164 + 0,053 = 0,803
Portanto, a probabilidade de observar entre 2 e 5 bolas pretas nas 7 retiradas é de aproximadamente 80,3%.

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