(Devore e Cordeiro, 2014) Uma filial de um banco em tem seis caixas eletrônicos. Suponha que X representa o número de máquinas sendo utilizadas em determinada hora do dia. A função de distribuição acumulada de X é o seguinte:
FX(x)= 0 & x<0 0,06 & 0 <= x<1 0,19 & 1 <= x<2 0,39 & 2 <= x<3 0,67 & 3 <= x<4 0,92 & 4 <= x<5 0,97 & 5 <= x<6 1 & 6 <= x
(a) Determine P(X>3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma filial de banco que tem seis caixas eletrônicos. A variável $ X $ representa quantas dessas máquinas estão sendo usadas em uma hora específica. A gente tem a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $, que mostra a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Hoje, queremos descobrir a probabilidade de mais de 3 caixas eletrônicos estarem em uso, ou seja, $ P(X > 3) $. Para isso, vamos precisar entender o que é função de distribuição acumulada e como ela se relaciona com probabilidades específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $. Essa função nos dá a probabilidade de a variável $ X $ ser menor ou igual a um valor $ x $. Matemáticamente, isso é representado como:
FX(x)
Então, se quisermos saber a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 3, é só olhar o valor de $ F_X(3) $ na tabela que foi dada.

Passo 3

Agora, queremos encontrar $ P(X > 3) $. Sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Então, se a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 3 é $ F_X(3) $, a probabilidade de $ X $ ser maior que 3 será:
P(X > 3)
Ou seja:
X

Passo 4

Vamos olhar na função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ para $ x = 3 $. De acordo com a tabela:
FX(x)
Isso significa que há 67% de chance de 3 ou menos caixas eletrônicos estarem em uso.

Passo 5

Agora, substituímos esse valor na nossa fórmula:
P(X > 3) = 1 - 0,67 = 0,33
Então, a probabilidade de mais de 3 caixas eletrônicos estarem em uso é de 33%.

Resposta

A probabilidade de mais de 3 caixas eletrônicos estarem em uso é de 0,33 ou 33%.

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