Usando o critério da comparação, determine se é convergente ou divergente:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
E precisamos descobrir se ela converge ou diverge usando o critério da comparação. Para isso, vamos comparar essa série com outra que sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento dos termos da série para grandes valores de
. Quando
cresce,
é aproximadamente
e
é aproximadamente
. Então, o termo geral da série fica parecido com:
Passo 3
Agora, escolhemos uma série de comparação que seja mais simples e que conhecemos o comportamento. Vamos escolher a série p:
Sabemos que essa série converge porque é uma série
com
.
Passo 4
Vamos comparar os termos das duas séries. Para todo
:
Isso porque
e
para
.
Passo 5
Como os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos da série
que converge, pelo critério da comparação, podemos concluir que nossa série também converge.
Resposta
A série
converge pelo critério da comparação.