Usando o critério da comparação, determine se é convergente ou divergente:
sumk=1^infty k+12 k^3-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumk=1^infty k+12k^3-1
E precisamos descobrir se ela converge ou diverge usando o critério da comparação. Para isso, vamos comparar essa série com outra que sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento dos termos da série para grandes valores de k2k^3 = 12k^2 . Quando cresce, é aproximadamente e é aproximadamente . Então, o termo geral da série fica parecido com:

Passo 3

Agora, escolhemos uma série de comparação que seja mais simples e que conhecemos o comportamento. Vamos escolher a série p:
sumk=1^infty 1k^2
Sabemos que essa série converge porque é uma série com .

Passo 4

Vamos comparar os termos das duas séries. Para todo k+12k^3-1 <= 2k2k^3 = 1k^2 :
Isso porque e para .

Passo 5

Como os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos da série que converge, pelo critério da comparação, podemos concluir que nossa série também converge.

Resposta

A série converge pelo critério da comparação.

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