Usando o critério da comparação, mostre a convergência de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a série
converge usando o critério da comparação. Isso envolve entender séries infinitas e como compará-las para determinar se elas somam um valor finito. Para resolver, vamos precisar saber sobre séries convergentes e o critério da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Observa que
é igual a
. Então, o denominador fica:
Portanto, o termo geral da série é:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais. Para grandes valores de
, o termo
domina sobre o 1, então podemos dizer que:
Substituindo isso no termo geral:
Passo 4
Agora, usamos o critério da comparação. Sabemos que a série
é uma série p, onde
, e ela converge porque
.
Passo 5
Como nosso termo geral
é menor ou igual a
para todo
(pois
), podemos concluir pelo critério da comparação que a série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo critério da comparação.