Usando o critério da comparação, mostre a convergência de:
sumk=1^infty 1raizk(1+raizk^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a série converge usando o critério da comparação. Isso envolve entender séries infinitas e como compará-las para determinar se elas somam um valor finito. Para resolver, vamos precisar saber sobre séries convergentes e o critério da comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Observa que 1 + raizk^3 = 1 + k^3/2 é igual a 1raizk (1 + k^3/2) . Então, o denominador fica:
Portanto, o termo geral da série é:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais. Para grandes valores de 1 + k^3/2 approx k^3/2 , o termo 1raizk cdot k^3/2 = 1k^1/2 cdot k^3/2 = 1k^2 domina sobre o 1, então podemos dizer que:
Substituindo isso no termo geral:

Passo 4

Agora, usamos o critério da comparação. Sabemos que a série é uma série p, onde , e ela converge porque .

Passo 5

Como nosso termo geral é menor ou igual a para todo (pois ), podemos concluir pelo critério da comparação que a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo critério da comparação.

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