Usando o critério do termo geral, mostre a divergência de:
sumk=1^infty k ln k+5k+2

Passo 1

Vamos analisar a série infinita . O conteúdo que vamos utilizar é o Critério do Termo Geral, que nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge observando o comportamento do termo geral. Precisamos calcular o limite do termo geral quando tende ao infinito para aplicar esse critério.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão dentro do logaritmo:
ln k+5k+2 = ln (1 + 3k+2)
Para grandes valores de ln (1 + 3k+2) approx 3k+2 , é pequeno. Podemos usar a aproximação quando é próximo de 0:

Passo 3

Substituindo essa aproximação na série original:
k ln k+5k+2 approx k cdot 3k+2
Simplificando:
k cdot 3k+2 = 3kk+2
Quando limk to infty 3kk+2 = 3 tende ao infinito, se aproxima de :

Passo 4

Aplicando o Critério do Termo Geral, se o limite do termo geral limk to infty k ln k+5k+2 = 3 neq 0 , então a série diverge. No nosso caso:

Resposta

Portanto, a série diverge pelo Critério do Termo Geral.

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