Usando a definição de continuidade e as propriedades de limite, verifique que a função
f(x) = (x + 2 x^3)^4
é contínua em x = -1.

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem que mostrar que a função é contínua em . Isso envolve entender o que é continuidade e como os limites funcionam. Vamos precisar usar a definição de continuidade e as propriedades dos limites para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: está definida? Sim, basta substituir na função:
Então, está definida e vale 81.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda condição: existe o limite de quando se aproxima de -1? Como é composta de polinômios e potências, e polinômios são funções contínuas em todo lugar, o limite vai existir.

Passo 5

Vamos calcular o limite:
Como a função dentro dos parênteses é contínua, podemos substituir diretamente:
Então, o limite quando se aproxima de -1 é 81.

Passo 6

Finalmente, a terceira condição: o limite é igual a ?
Sim, ambos são 81. Então, todas as três condições para continuidade são satisfeitas.

Resposta

Portanto, a função é contínua em .

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