Usando a distribuição de Boltzmann , e assumindo que a energia das ondas eletromagnéticas na cavidade é contínua, encontre o valor da energia média das ondas .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que usar a distribuição de Boltzmann, que nos dá a probabilidade , para encontrar a energia média das ondas eletromagnéticas dentro de uma cavidade. Você vai precisar conhecer um pouquinho de estatística térmica e de como calcular valores médios usando distribuições de probabilidade.
Passo 2
A energia média E = integral0^infty E cdot P(E) , dE é essencialmente o valor médio da energia que esperamos encontrar nas ondas eletromagnéticas. Para calcular isso, usamos a fórmula de valor médio para distribuições contínuas:
Aqui, integramos a energia multiplicada pela probabilidade em todos os valores possíveis de energia, ou seja, de 0 a infinito.
Passo 3
Vamos substituir a expressão de E = integral0^infty E cdot e^-E/kTkT , dE na integral:
E = 1kT integral0^infty E cdot e^-E/kT , dE
Para simplificar, podemos trazer os termos constantes para fora da integral:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral integral0^infty E cdot e^-E/kT , dE = (kT)^2 integral0^infty u cdot e^-u , du . Para isso, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Passo 5
A integral integral0^infty E cdot e^-E/kT , dE = (kT)^2 cdot 1 = (kT)^2 é uma integral conhecida que vale 1 (é a definição da função gama para ). Então temos:
Passo 6
Voltando à expressão da energia média:
E = 1kT cdot (kT)^2 = kT
Resposta
A energia média das ondas eletromagnéticas na cavidade é .