Usando a distribuição de Boltzmann P(E)= e^-E / k T / k T, e assumindo que a energia das ondas eletromagnéticas na cavidade é contínua, encontre o valor da energia média das ondas (E).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que usar a distribuição de Boltzmann, que nos dá a probabilidade , para encontrar a energia média das ondas eletromagnéticas dentro de uma cavidade. Você vai precisar conhecer um pouquinho de estatística térmica e de como calcular valores médios usando distribuições de probabilidade.

Passo 2

A energia média E = integral0^infty E cdot P(E) , dE é essencialmente o valor médio da energia que esperamos encontrar nas ondas eletromagnéticas. Para calcular isso, usamos a fórmula de valor médio para distribuições contínuas:
Aqui, integramos a energia multiplicada pela probabilidade em todos os valores possíveis de energia, ou seja, de 0 a infinito.

Passo 3

Vamos substituir a expressão de E = integral0^infty E cdot e^-E/kTkT , dE na integral:
E = 1kT integral0^infty E cdot e^-E/kT , dE
Para simplificar, podemos trazer os termos constantes para fora da integral:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral integral0^infty E cdot e^-E/kT , dE = (kT)^2 integral0^infty u cdot e^-u , du . Para isso, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 5

A integral integral0^infty E cdot e^-E/kT , dE = (kT)^2 cdot 1 = (kT)^2 é uma integral conhecida que vale 1 (é a definição da função gama para ). Então temos:

Passo 6

Voltando à expressão da energia média:
E = 1kT cdot (kT)^2 = kT

Resposta

A energia média das ondas eletromagnéticas na cavidade é .

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