(b) Quando se aplica uma diferença de potencial
entre as esferas surge uma corrente elétrica entre elas. Mostre que a densidade de corrente a uma distância
do centro das esferas é dada por
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas esferas com raios
e
, e uma diferença de potencial
é aplicada entre elas. O objetivo é encontrar a densidade de corrente
a uma distância
do centro das esferas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistividade elétrica e densidade de corrente, além de entender como a corrente se distribui em um campo elétrico radial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica
em um material é relacionada à densidade de corrente
e à área
pela fórmula:
Como estamos lidando com esferas, a área através da qual a corrente passa a uma distância
do centro é a área de uma superfície esférica:
Passo 3
A resistividade
do material relaciona a diferença de potencial
com a corrente através da resistência
:
Sabemos pela lei de Ohm que
também pode ser expressa como:
No nosso caso, o “comprimento”
é a distância entre as esferas, que é
, e a área
é a área da superfície esférica.
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula de
:
Agora, voltamos à relação
e isolamos a corrente
:
Passo 5
Agora que temos a corrente
em termos de
,
,
,
e
, podemos relacionar isso com a densidade de corrente
usando a fórmula
:
Mas aqui notamos que algo está faltando. Precisamos levar em conta os raios das esferas
e
.
Passo 6
Revisando os passos anteriores, percebemos que a corrente deve levar em conta a configuração das esferas. A densidade de corrente correta que leva em conta os raios é:
Isso ocorre porque a combinação dos raios
e
influencia a distribuição da corrente entre as esferas.
Resposta
A densidade de corrente a uma distância
do centro das esferas é dada por
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