Usando o fator integrante e^integral P(t) d t como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Para o problema da mistura salina, se tivermos inicialmente n 0 libras de sal inicialmente dissolvidas nos 300 galões iniciais da mistura (A(t=0)=n 0 ), determine a curva que calcula a quantidade de sal na mistura, A(t). ( n= posição referente ao nome do aluno na lista de chamada). Plote o gráfico desta curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Estamos lidando com um problema de mistura salina onde temos inicialmente libras de sal dissolvidas em 300 galões de mistura. O objetivo é encontrar a quantidade de sal na mistura ao longo do tempo, representada por . Para resolver isso, vamos usar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear e o método do fator integrante . Vamos precisar entender como montar a EDO e aplicar o método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar o problema com uma EDO. Geralmente, em problemas de mistura, consideramos que a mistura está sendo agitada de forma que a concentração de sal se mantém homogênea. Se não há entrada de sal (apenas entrada de água pura), a taxa de variação da quantidade de sal no tanque dependerá apenas da saída de sal.
A EDO fica assim:
dA(t)dt = -k cdot A(t)
onde é uma constante que depende da taxa de fluxo da mistura.

Passo 3

Agora, vamos identificar os termos da nossa EDO para aplicar o método do fator integrante. A equação está na forma padrão:
dAdt + P(t)A = Q(t)
Comparando com a nossa equação:
P(t) = k e Q(t) = 0

Passo 4

Calcular o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral k dt = e^kt é o próximo passo. O fator integrante é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação e facilitar a integração.

Passo 5

Multiplicamos toda a EDO pelo fator integrante:
e^kt cdot dAdt + e^kt cdot kA = 0
Isso simplifica para:
ddt( A(t) cdot e^kt ) = 0
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação ao tempo .

Passo 6

Integrando, temos:
A(t) cdot e^kt = C
onde n0 cdot e^k cdot 0 = C Rightarrow C = n0 é a constante de integração. Para encontrar A(t) = n0 cdot e^-kt , usamos a condição inicial :
Agora, resolvemos para :

Resposta

A quantidade de sal na mistura ao longo do tempo é dada por:
A(t) = n0 cdot e^-kt
Para visualizar como A(t) = n0 e^-kt se comporta, podemos plotar o gráfico dessa função. Aqui está um exemplo de como fazer isso usando Python e matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parâmetros
n0 = 100  # Por exemplo, 100 libras de sal inicialmente
k = 0.1   # Taxa de decaimento
t = np.linspace(0, 50, 400)  # Tempo de 0 a 50 unidades

# Função A(t)
A_t = n0 * np.exp(-k * t)

# Plot
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(t, A_t, label=r'$A(t) = n_0 e^{-kt}$')
plt.title('Quantidade de Sal na Mistura ao Longo do Tempo')
plt.xlabel('Tempo')
plt.ylabel('Quantidade de Sal (libras)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Esse gráfico mostrará uma curva decrescente exponencial, indicando que a quantidade de sal na mistura diminui ao longo do tempo.

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