Usando o fator integrante
como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Para o problema da mistura salina, se tivermos inicialmente
libras de sal inicialmente dissolvidas nos 300 galões iniciais da mistura
), determine a curva que calcula a quantidade de sal na mistura,
. (
posição referente ao nome do aluno na lista de chamada). Plote o gráfico desta curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Estamos lidando com um problema de mistura salina onde temos inicialmente
libras de sal dissolvidas em 300 galões de mistura. O objetivo é encontrar a quantidade de sal na mistura ao longo do tempo, representada por
. Para resolver isso, vamos usar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear e o método do fator integrante
. Vamos precisar entender como montar a EDO e aplicar o método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos modelar o problema com uma EDO. Geralmente, em problemas de mistura, consideramos que a mistura está sendo agitada de forma que a concentração de sal se mantém homogênea. Se não há entrada de sal (apenas entrada de água pura), a taxa de variação da quantidade de sal no tanque dependerá apenas da saída de sal.
A EDO fica assim:
onde
é uma constante que depende da taxa de fluxo da mistura.
Passo 3
Agora, vamos identificar os termos da nossa EDO para aplicar o método do fator integrante. A equação está na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Passo 4
Calcular o fator integrante
é o próximo passo. O fator integrante é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação e facilitar a integração.
Passo 5
Multiplicamos toda a EDO pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação ao tempo
.
Passo 6
Integrando, temos:
onde
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial
:
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A quantidade de sal na mistura ao longo do tempo é dada por:
Para visualizar como
se comporta, podemos plotar o gráfico dessa função. Aqui está um exemplo de como fazer isso usando Python e matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parâmetros
n0 = 100 # Por exemplo, 100 libras de sal inicialmente
k = 0.1 # Taxa de decaimento
t = np.linspace(0, 50, 400) # Tempo de 0 a 50 unidades
# Função A(t)
A_t = n0 * np.exp(-k * t)
# Plot
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(t, A_t, label=r'$A(t) = n_0 e^{-kt}$')
plt.title('Quantidade de Sal na Mistura ao Longo do Tempo')
plt.xlabel('Tempo')
plt.ylabel('Quantidade de Sal (libras)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Esse gráfico mostrará uma curva decrescente exponencial, indicando que a quantidade de sal na mistura diminui ao longo do tempo.
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, plotando esta curva. (
posição referente ao nome do aluno na lista de chamada).