Usando o fator integrante e^integral P(t) d t como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Seja um circuito LR, alimentado por uma fonte de tensão de 12 V. Se a indutância é de 1n henry e se a resistência for de 1 n ohms, encontre a equação que calcula a corrente, i(t), plotando esta curva. ( n= posição referente ao nome do aluno na lista de chamada).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um circuito LR usando equações diferenciais lineares. A gente precisa achar a equação que descreve a corrente i(t) no tempo. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve o circuito. Em um circuito LR alimentado por uma fonte de tensão, a lei de Kirchhoff nos dá:
V = L didt + R i(t)
Onde:
  • V é a tensão da fonte (12 V)
  • L é a indutância ( 1n henry)
  • R é a resistência ( 1n ohm)
  • i(t) é a corrente que queremos encontrar

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
didt + RL i(t) = VL
Aqui, identificamos:
  • P(t) = RL
  • Q(t) = VL

Passo 4

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Substituindo P(t):
mu(t) = e^integral RL dt = e^RL t

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^RL t didt + e^RL t RL i(t) = e^RL t VL
Isso simplifica para:
ddt ( e^RL t i(t) ) = e^RL t VL

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a t:
e^RL t i(t) = integral e^RL t VL dt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo a integral:
e^RL t i(t) = VR e^RL t + C
Agora, isolamos i(t):
i(t) = VR + C e^-RL t

Passo 8

Para determinar a constante C, usamos a condição inicial. Supondo que a corrente inicial i(0) = 0:
0 = VR + C
Então:
C = -VR

Passo 9

Substituindo C de volta na equação de i(t):
i(t) = VR ( 1 - e^-RL t )

Resposta

A corrente no circuito é dada por:
i(t) = 121n (1 - e^-1n cdot t)
Ou simplificando:
i(t) = 12n (1 - e^-n t)

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