Usando o fator integrante
como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Seja um circuito LR, alimentado por uma fonte de tensão de 12 V. Se a indutância é de
henry e se a resistência for de 1 n ohms, encontre a equação que calcula a corrente,
, plotando esta curva. (
posição referente ao nome do aluno na lista de chamada).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um circuito LR usando equações diferenciais lineares. A gente precisa achar a equação que descreve a corrente
no tempo. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve o circuito. Em um circuito LR alimentado por uma fonte de tensão, a lei de Kirchhoff nos dá:
Onde:
-
é a tensão da fonte (12 V) -
é a indutância ( henry) -
é a resistência ( ohm) -
é a corrente que queremos encontrar
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, identificamos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo a integral:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Para determinar a constante
, usamos a condição inicial. Supondo que a corrente inicial
:
Então:
Passo 9
Substituindo
de volta na equação de
:
Resposta
A corrente no circuito é dada por:
Ou simplificando: