Usando o fator integrante como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Uma cultura de bactérias possui, inicialmente uma população , o número medido de bactérias passa a ser de , com posição referente ao nome do aluno na lista de chamada. Se a taxa de crescimento for proporcional ao número de bactérias no instante , determine o tempo necessário para multiplicar o número de bactérias por um fator de (n+2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre o crescimento de uma cultura de bactérias. No começo, a população é . Depois de 1 hora, a quantidade de bactérias é , onde é a posição do teu nome na lista. A taxa de crescimento das bactérias é proporcional ao número de bactérias no instante , ou seja, . Precisamos descobrir quanto tempo leva para a população de bactérias multiplicar por um fator de . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante em uma equação diferencial linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o crescimento das bactérias. Como a taxa de crescimento é proporcional a , temos:
Aqui, é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial usando o método do fator integrante. Uma equação diferencial linear tem a forma:
O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :
Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução geral é:

Passo 7

Sabemos que após 1 hora, a população é :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Tomando o logaritmo natural dos dois lados para resolver para :

Passo 9

Agora, queremos encontrar o tempo para que a população seja :
Dividindo por :

Passo 10

Substituindo :
Simplificando o expoente:

Passo 11

Tomando o logaritmo natural novamente:
Resolvendo para :

Resposta

O tempo necessário para multiplicar a população de bactérias por um fator de é:

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