Usando o fator integrante
como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Uma cultura de bactérias possui, inicialmente uma população
, o número medido de bactérias passa a ser de
, com
posição referente ao nome do aluno na lista de chamada. Se a taxa de crescimento for proporcional ao número de bactérias no instante
, determine o tempo necessário para multiplicar o número de bactérias por um fator de (n+2).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre o crescimento de uma cultura de bactérias. No começo, a população é
. Depois de 1 hora, a quantidade de bactérias é
, onde
é a posição do teu nome na lista. A taxa de crescimento das bactérias é proporcional ao número de bactérias no instante
, ou seja,
. Precisamos descobrir quanto tempo leva para a população de bactérias multiplicar por um fator de
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante em uma equação diferencial linear.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o crescimento das bactérias. Como a taxa de crescimento é proporcional a
, temos:
Aqui,
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial usando o método do fator integrante. Uma equação diferencial linear tem a forma:
O fator integrante é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução geral é:
Passo 7
Sabemos que após 1 hora, a população é
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Tomando o logaritmo natural dos dois lados para resolver para
:
Passo 9
Agora, queremos encontrar o tempo
para que a população seja
:
Dividindo por
:
Passo 10
Substituindo
:
Simplificando o expoente:
Passo 11
Tomando o logaritmo natural novamente:
Resolvendo para
:
Resposta
O tempo necessário para multiplicar a população de bactérias por um fator de
é: