Usando o fator integrante e^integral P(t) d t como método de solução de uma EDO linear, resolva os seguintes problemas: Uma cultura de bactérias possui, inicialmente uma população P0 Emt=1, n h, o número medido de bactérias passa a ser de n+22 cdot P0, com n= posição referente ao nome do aluno na lista de chamada. Se a taxa de crescimento for proporcional ao número de bactérias no instante t, P(t), determine o tempo necessário para multiplicar o número de bactérias por um fator de (n+2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre o crescimento de uma cultura de bactérias. No começo, a população é P0. Depois de 1 hora, a quantidade de bactérias é n+22 cdot P0, onde n é a posição do teu nome na lista. A taxa de crescimento das bactérias é proporcional ao número de bactérias no instante t, ou seja, P(t). Precisamos descobrir quanto tempo leva para a população de bactérias multiplicar por um fator de (n+2). Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante em uma equação diferencial linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o crescimento das bactérias. Como a taxa de crescimento é proporcional a P(t), temos:
dPdt = k P(t)
Aqui, k é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial usando o método do fator integrante. Uma equação diferencial linear tem a forma:
dPdt + P(t) cdot (-k) = 0
O fator integrante é dado por:
mu(t) = e^integral -k , dt = e^-kt

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-kt cdot dPdt - k e^-kt P(t) = 0
Isso simplifica para:
ddt( e^-kt P(t) ) = 0

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t:
e^-kt P(t) = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para P(t):
P(t) = C e^kt
Agora, usamos a condição inicial P(0) = P0 para encontrar C:
P(0) = C e^0 = C = P0
Então, a solução geral é:
P(t) = P0 e^kt

Passo 7

Sabemos que após 1 hora, a população é n+22 cdot P0:
P(1) = P0 e^k cdot 1 = n+22 P0
Dividindo ambos os lados por P0:
e^k = n+22

Passo 8

Tomando o logaritmo natural dos dois lados para resolver para k:
k = ln( n+22 )

Passo 9

Agora, queremos encontrar o tempo T para que a população seja (n+2) P0:
P(T) = P0 e^kT = (n+2) P0
Dividindo por P0:
e^kT = n+2

Passo 10

Substituindo k:
e^ln( n+22 ) T = n+2
Simplificando o expoente:
( n+22 )^T = n+2

Passo 11

Tomando o logaritmo natural novamente:
T cdot ln( n+22 ) = ln(n+2)
Resolvendo para T:
T = ln(n+2)ln( n+22 )

Resposta

O tempo necessário para multiplicar a população de bactérias por um fator de (n+2) é:
T = ln(n+2)ln( n+22 ) horas

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