Usando a função e as expressões da questão anterior, supondo que o fenômeno está relacionado com um elétron viajando em um fio fino de metal com 10 cm de comprimento (uma boa aproximação para um poço infinito unidimensional), calcule:
c) a probabilidade de encontrar o elétron, no estado fundamental, na região entre 0 e
. ( R :
ou
c) a probabilidade de encontrar o elétron, no estado fundamental, na região entre 0 e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede pra calcular a probabilidade de encontrar um elétron no estado fundamental, ou seja, no menor nível de energia, dentro de uma região específica de um fio fino de metal que está sendo modelado como um poço infinito unidimensional com 10 cm de comprimento. A gente vai usar conceitos de mecânica quântica, especialmente funções de onda e probabilidades em poços de potencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como é a função de onda para um elétron no estado fundamental em um poço infinito. A função de onda no estado fundamental é dada por:
onde
é o comprimento do poço (10 cm) e
varia de 0 a
.
Passo 3
A probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é obtida integrando o quadrado da função de onda nessa região. Então, queremos calcular:
Substituindo a função de onda:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então a probabilidade fica:
Passo 5
Para resolver a integral de
, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Agora, avaliamos de 0 a
:
Simplificando:
Passo 7
Calculando os valores numéricos:
Convertendo para porcentagem:
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron no estado fundamental entre 0 e
é de aproximadamente 9,1 %.