Usando a função e as expressões da questão anterior, supondo que o fenômeno está relacionado com um elétron viajando em um fio fino de metal com 10 cm de comprimento (uma boa aproximação para um poço infinito unidimensional), calcule:
c) a probabilidade de encontrar o elétron, no estado fundamental, na região entre 0 e L / 4. ( R : P= 0,091 ou 9,1 %)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede pra calcular a probabilidade de encontrar um elétron no estado fundamental, ou seja, no menor nível de energia, dentro de uma região específica de um fio fino de metal que está sendo modelado como um poço infinito unidimensional com 10 cm de comprimento. A gente vai usar conceitos de mecânica quântica, especialmente funções de onda e probabilidades em poços de potencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como é a função de onda para um elétron no estado fundamental em um poço infinito. A função de onda no estado fundamental é dada por:
psi1(x) = raiz2L sin(pi xL)
onde é o comprimento do poço (10 cm) e varia de 0 a .

Passo 3

A probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é obtida integrando o quadrado da função de onda nessa região. Então, queremos calcular:
P = integral0^L4 |psi1(x)|^2 dx
Substituindo a função de onda:
P = integral0^L4 ( raiz2L sin(pi xL) )^2 dx

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
|psi1(x)|^2 = 2L sin^2(pi xL)
Então a probabilidade fica:
P = 2L integral0^L4 sin^2(pi xL) dx

Passo 5

Para resolver a integral de sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2 , usamos a identidade trigonométrica:
P = 2L integral0^L4 1 - cos(2pi xL)2 dx = 1L integral0^L4 (1 - cos(2pi xL)) dx
Aplicando isso na integral:

Passo 6

Integrando termo a termo:
integral (1 - cos(2pi xL)) dx = x - L2pi sin(2pi xL) + C
Agora, avaliamos de 0 a P = 1L [ ( L4 - L2pi sin(2pi (L4)L) ) - (0 - L2pi sin(0)) ] :
P = 1L ( L4 - L2pi sin(pi2) ) = 1L ( L4 - L2pi cdot 1 ) = 14 - 12pi
Simplificando:

Passo 7

Calculando os valores numéricos:
P = 14 - 12pi approx 0,25 - 0,159 = 0,091
Convertendo para porcentagem:
P approx 9,1%

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron no estado fundamental entre 0 e é de aproximadamente 9,1 %.

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