Usando a lei de Ampère, encontre a expressão para o campo magnética a uma distância r do centro de um fio muito comprido que conduz uma densidade de corrente dado por J=j0 r, sendo j0 uma constante dada em A / m^3. Faça isso para r>R e r, onde R é o raio do fio.

Passo 1

Vamos resolver um exercício usando a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético a uma distância do centro de um fio muito comprido que conduz uma densidade de corrente . Precisamos fazer isso para dois casos: quando e , onde é o raio do fio. Para resolver, vamos precisar entender a Lei de Ampère e como calcular a corrente envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Ampère nos diz que a integral do campo magnético oint B cdot dl = mu0 Ienc ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade do vácuo vezes a corrente total que passa pelo caminho:
No nosso caso, pela simetria do problema, o campo magnético será tangente a círculos concêntricos ao fio e terá a mesma magnitude em todos os pontos a uma mesma distância do centro.

Passo 3

Vamos calcular Ienc = integral0^r j0 r' cdot 2pi r' dr' = 2pi j0 integral0^r r'^2 dr' = 2pi j0 [r'^33]0^r = 2pi j0 r^33 para os dois casos.
Para Itotal = integral0^R j0 r' cdot 2pi r' dr' = 2pi j0 integral0^R r'^2 dr' = 2pi j0 [r'^33]0^R = 2pi j0 R^33 :
A corrente total envolvida até a distância é a integral da densidade de corrente sobre a área interna ao raio :
Para :
A corrente total no fio é a integral da densidade de corrente até o raio :

Passo 4

Agora, aplicando a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético oint B cdot dl = B(r) cdot 2pi r = mu0 Ienc :
B(r) cdot 2pi r = mu0 cdot 2pi j0 r^33 implies B(r) = mu0 j0 r^23
Para B(r) cdot 2pi r = mu0 cdot 2pi j0 R^33 implies B(r) = mu0 j0 R^33 r :
Para :

Resposta

O campo magnético B(r) = mu0 j0 r^23 & para r < R, mu0 j0 R^33 r & para r > R é dado por:

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