Um retângulo formado por cargas
e
situadas nos vértices, nesta ordem, tem lados
e
. Sabendo que
, ache o campo elétrico no centro do retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um retângulo com quatro cargas nos vértices:
,
,
e
. Os lados do retângulo medem
e
. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico no centro desse retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como o campo elétrico gerado por cargas pontuais e a superposição de campos. Vamos precisar das fórmulas do campo elétrico de uma carga pontual e saber como somar vetorialmente esses campos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde está o centro do retângulo. O centro está no ponto onde as diagonais se cruzam. A distância do centro a cada vértice pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras. A distância
do centro a cada vértice é:
Convertendo para metros:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula do campo elétrico gerado por uma carga pontual:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga, -
é a distância da carga ao ponto onde estamos calculando o campo.
Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada uma das cargas no centro do retângulo.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado pela carga
localizada em um dos vértices. Aplicando a fórmula:
Esses campos gerados pelas cargas
estarão direcionados afastando-se (para cargas positivas) ou se dirigindo (para cargas negativas) em relação às cargas.
Passo 5
Agora, vamos analisar as direções desses campos no centro. As duas cargas
nos vértices opostos vão gerar campos que têm componentes que se cancelam horizontalmente, mas somam verticalmente. A carga
atrai o campo na direção oposta, e a carga
gera um campo maior na mesma direção.
Vamos decompor os campos em componentes horizontais (
) e verticais (
).
Passo 6
Para simplificar, vamos considerar que as cargas
nos vértices inferiores e superiores geram campos simétricos. As componentes horizontais se cancelam, então só precisamos somar as componentes verticais.
O campo total no centro será devido à soma das componentes verticais dos quatro campos elétricos.
Passo 7
Calculando as componentes verticais:
- Carga
superior: - Carga
inferior: - Carga
: (já que é negativa) - Carga
:
Onde
é o ângulo entre a diagonal e o eixo vertical, dado por:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores:
Passo 9
Somando todas as componentes verticais:
Resposta
O campo elétrico no centro do retângulo é de aproximadamente
na direção vertical para cima.