Um retângulo formado por cargas Q,-Q, 2 Q e Q situadas nos vértices, nesta ordem, tem lados a=10 cm e b=5 cm. Sabendo que Q=1,2 mu C, ache o campo elétrico no centro do retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um retângulo com quatro cargas nos vértices: Q, -Q, 2Q e Q. Os lados do retângulo medem a = 10,cm e b = 5,cm. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico no centro desse retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como o campo elétrico gerado por cargas pontuais e a superposição de campos. Vamos precisar das fórmulas do campo elétrico de uma carga pontual e saber como somar vetorialmente esses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde está o centro do retângulo. O centro está no ponto onde as diagonais se cruzam. A distância do centro a cada vértice pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras. A distância d do centro a cada vértice é:
d = raiz(a2)^2 + (b2)^2 = raiz(102)^2 + (52)^2 = raiz5^2 + 2.5^2 = raiz25 + 6.25 = raiz31.25 approx 5.59,cm
Convertendo para metros:
d approx 0.0559,m

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula do campo elétrico gerado por uma carga pontual:
E = k cdot |Q|d^2
Onde:
  • E é o campo elétrico,
  • k é a constante eletrostática ( 8.99 times 10^9,N·m²/C²²²),
  • Q é a carga,
  • d é a distância da carga ao ponto onde estamos calculando o campo.
Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada uma das cargas no centro do retângulo.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado pela carga Q = 1.2,muC localizada em um dos vértices. Aplicando a fórmula:
EQ = 8.99 times 10^9 times 1.2 times 10^-6(0.0559)^2 approx 8.99 times 10^9 times 1.2 times 10^-60.00313 approx 3.45 times 10^9,N/C
Esses campos gerados pelas cargas Q estarão direcionados afastando-se (para cargas positivas) ou se dirigindo (para cargas negativas) em relação às cargas.

Passo 5

Agora, vamos analisar as direções desses campos no centro. As duas cargas Q nos vértices opostos vão gerar campos que têm componentes que se cancelam horizontalmente, mas somam verticalmente. A carga -Q atrai o campo na direção oposta, e a carga 2Q gera um campo maior na mesma direção.
Vamos decompor os campos em componentes horizontais ( Ex) e verticais ( Ey).

Passo 6

Para simplificar, vamos considerar que as cargas Q nos vértices inferiores e superiores geram campos simétricos. As componentes horizontais se cancelam, então só precisamos somar as componentes verticais.
O campo total no centro será devido à soma das componentes verticais dos quatro campos elétricos.

Passo 7

Calculando as componentes verticais:
  • Carga Q superior: Ey1 = EQ cdot sin(theta)
  • Carga Q inferior: Ey2 = EQ cdot sin(theta)
  • Carga -Q: Ey3 = -EQ cdot sin(theta) (já que é negativa)
  • Carga 2Q: Ey4 = k cdot 2Qd^2 cdot sin(theta)
Onde theta é o ângulo entre a diagonal e o eixo vertical, dado por:
sin(theta) = a2d = 55.59 approx 0.894

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores:
Ey1 = EQ times 0.894 approx 3.45 times 10^9 times 0.894 approx 3.08 times 10^9,N/C
Ey2 = 3.08 times 10^9,N/C
Ey3 = -3.08 times 10^9,N/C
Ey4 = k cdot 2Qd^2 cdot sin(theta) = 2 times 3.45 times 10^9 times 0.894 approx 6.15 times 10^9,N/C

Passo 9

Somando todas as componentes verticais:
Etotal = Ey1 + Ey2 + Ey3 + Ey4 = 3.08 times 10^9 + 3.08 times 10^9 - 3.08 times 10^9 + 6.15 times 10^9 = 9.23 times 10^9,N/C

Resposta

O campo elétrico no centro do retângulo é de aproximadamente 9.23 times 10^9,N/C na direção vertical para cima.

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